Номер 192, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а высота — 4 см. Найдите:

1) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

2) угол наклона боковой грани к плоскости основания;

3) площадь полной поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где S — вершина, а ABC — основание. Основание является равносторонним треугольником со стороной $a = 6$ см. Высота пирамиды $SO = H = 4$ см, где O — центр основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот).

1) угол наклона бокового ребра к плоскости основания

Угол наклона бокового ребра (например, SA) к плоскости основания ABC — это угол между самим ребром SA и его проекцией OA на эту плоскость. Таким образом, искомый угол — это $\angle SAO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ ( $\angle SOA = 90^\circ$ ). В нем катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO = 4$ см. Катет $OA$ — это радиус $R$ описанной около основания окружности.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставим значение $a=6$ см:

$OA = R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь в треугольнике $\triangle SAO$ мы знаем два катета, что позволяет найти тангенс угла $\angle SAO$ (обозначим его $\alpha$):

$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OA} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, угол наклона равен $\arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

2) угол наклона боковой грани к плоскости основания

Угол наклона боковой грани (например, SBC) к плоскости основания — это двугранный угол при ребре основания BC. Он измеряется линейным углом $\angle SMO$, где SM — апофема (высота боковой грани, проведенная к стороне BC), а OM — ее проекция на основание. OM является радиусом $r$ вписанной в основание окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SMO$ ( $\angle SOM = 90^\circ$ ). Катет $SO = H = 4$ см.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Подставим значение $a=6$ см:

$OM = r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Теперь в треугольнике $\triangle SMO$ мы знаем два катета, что позволяет найти тангенс угла $\angle SMO$ (обозначим его $\beta$):

$\tan(\beta) = \frac{SO}{OM} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, угол наклона равен $\arctan\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)$.

3) площадь полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Сначала найдем площадь основания. Основание — равносторонний треугольник со стороной $a = 6$ см. Его площадь вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$:

$S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Далее найдем площадь боковой поверхности. Она состоит из трех одинаковых равнобедренных треугольников. Площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle SBC} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM$, где $SM$ — апофема.

Найдем длину апофемы $SM$ из прямоугольного треугольника $\triangle SMO$ по теореме Пифагора:

$SM^2 = SO^2 + OM^2$

$SM^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3 = 19$

$SM = \sqrt{19}$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{19} = 9\sqrt{19}$ см².

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 9\sqrt{3} + 9\sqrt{19} = 9(\sqrt{3} + \sqrt{19})$ см².

Ответ: $9(\sqrt{3} + \sqrt{19})$ см².