Номер 193, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

193. Радиус окружности, описанной около боковой грани правильной треугольной пирамиды, равен $R$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит равносторонний треугольник, а боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим одну из боковых граней. Это равнобедренный треугольник. Обозначим его боковые стороны (которые являются боковыми ребрами пирамиды) как $b$, а основание (которое является стороной основания пирамиды) как $a$. Угол при вершине этого треугольника, противолежащий стороне $a$, по условию равен $\alpha$.

Вокруг этой боковой грани описана окружность радиуса $R$. Для любого треугольника верна обобщенная теорема синусов, которая связывает стороны треугольника, противолежащие им углы и радиус описанной окружности. Применительно к нашей боковой грани:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Отсюда мы можем выразить длину стороны основания пирамиды $a$:

$a = 2R \sin \alpha$

Углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой и вычисляются как $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Снова по теореме синусов найдем боковое ребро $b$:

$\frac{b}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = 2R$

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos x$, получаем:

$b = 2R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Площадь одной боковой грани ($S_{грань}$) можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{грань} = \frac{1}{2} b \cdot b \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} b^2 \sin \alpha$

Подставим в эту формулу найденное выражение для $b$:

$S_{грань} = \frac{1}{2} \left(2R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha = 2R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha$

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех таких одинаковых граней. Поэтому, чтобы найти площадь боковой поверхности ($S_{бок}$), нужно площадь одной грани умножить на 3:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{грань} = 3 \cdot 2R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha = 6R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha$

Полученное выражение можно упростить, используя тригонометрическую формулу понижения степени $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$:

$S_{бок} = 6R^2 \left(\frac{1 + \cos \alpha}{2}\right) \sin \alpha = 3R^2 (1 + \cos \alpha) \sin \alpha$

Ответ: $S_{бок} = 3R^2 (1 + \cos \alpha) \sin \alpha$.