Номер 200, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Основанием пирамиды $SABC$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = 6\sqrt{2}$ см, $\angle C = 135^\circ$. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания пирамиды угол $30^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть $SO$ – высота пирамиды $SABC$, где $S$ – вершина, а точка $O$ – основание высоты, лежащее в плоскости треугольника $ABC$.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания – это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекциями боковых ребер $SA$, $SB$ и $SC$ на плоскость основания $(ABC)$ являются отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ соответственно.

По условию, все боковые ребра образуют с плоскостью основания угол $30°$. Это означает, что $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = 30°$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA$, $\triangle SOB$ и $\triangle SOC$. Они являются прямоугольными, так как $SO$ – высота, т.е. $SO \perp (ABC)$. У этих треугольников общий катет $SO$ и равные острые углы ($\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = 30°$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует, что их катеты $OA$, $OB$ и $OC$ равны. Равенство отрезков $OA=OB=OC$ означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Длина этих отрезков равна радиусу $R$ этой окружности.

Чтобы найти высоту пирамиды $SO$, нам сначала нужно найти этот радиус $R$. Для треугольника $ABC$ известна сторона $AB = 6\sqrt{2}$ см и противолежащий ей угол $\angle C = 135°$. По следствию из теоремы синусов: $$ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = 2R $$ где $R$ – радиус описанной окружности.

Подставим известные значения. Учитывая, что $\sin(135°) = \sin(180° - 45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $$ 2R = \frac{6\sqrt{2}}{\sin(135°)} = \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 12 \text{ см} $$ Отсюда находим радиус: $$ R = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. Мы знаем катет $OA = R = 6$ см и угол $\angle SAO = 30°$. Высота пирамиды $SO$ является другим катетом этого треугольника. Найдем $SO$ через тангенс угла $\angle SAO$: $$ \tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA} $$ $$ SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) $$

Подставляем значения $OA=6$ и $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$: $$ SO = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см} $$

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.