Номер 195, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Плоский угол при вершине правильной четырёх-угольной пирамиды равен $\alpha$. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. По условию, плоский угол при вершине равен $\alpha$, то есть угол при вершине $S$ в каждой боковой грани равен $\alpha$. Например, $\angle CSD = \alpha$.

Нам необходимо найти двугранный угол при ребре основания, например, при ребре $CD$. Этот угол образован плоскостью боковой грани $(SCD)$ и плоскостью основания $(ABCD)$.

Для измерения этого двугранного угла построим его линейный угол.1. Проведём апофему $SM$ в грани $SCD$ (где $M$ – середина ребра $CD$). Так как треугольник $SCD$ равнобедренный ($SC=SD$), апофема $SM$ является также его высотой, то есть $SM \perp CD$.2. Пусть $O$ – центр квадрата $ABCD$. Соединим $O$ и $M$. В квадрате $ABCD$ отрезок $OM$ соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому $OM$ перпендикулярен этой стороне: $OM \perp CD$.

Поскольку $SM \perp CD$ и $OM \perp CD$, угол $\angle SMO$ является линейным углом искомого двугранного угла. Обозначим этот угол через $\beta$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Так как $SO$ – высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $OM$. Следовательно, треугольник $SOM$ – прямоугольный с прямым углом $\angle SOM$.

Из прямоугольного треугольника $SOM$ имеем:$\cos\beta = \cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM}$

Теперь выразим длины отрезков $OM$ и $SM$ через параметры пирамиды. Пусть длина бокового ребра $SD$ равна $b$.

В равнобедренном треугольнике $SCD$, апофема $SM$ является также биссектрисой угла $\angle CSD$. Поэтому $\angle DSM = \frac{\alpha}{2}$.Из прямоугольного треугольника $SMD$ находим:$MD = SD \cdot \sin(\angle DSM) = b \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$$SM = SD \cdot \cos(\angle DSM) = b \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$

Сторона основания $a = CD = 2 \cdot MD = 2b \sin(\frac{\alpha}{2})$.Отрезок $OM$ равен половине стороны квадрата $AD$ (которая равна $CD$).$OM = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 2b \sin(\frac{\alpha}{2}) = b \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Подставим полученные выражения для $OM$ и $SM$ в формулу для косинуса $\beta$:$\cos\beta = \frac{OM}{SM} = \frac{b \sin(\frac{\alpha}{2})}{b \cos(\frac{\alpha}{2})} = \tan(\frac{\alpha}{2})$

Таким образом, искомый двугранный угол $\beta$ равен $\arccos(\tan(\frac{\alpha}{2}))$.

Ответ: $\arccos(\tan(\frac{\alpha}{2}))$