Номер 195, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Плоский угол при вершине правильной четырёх-угольной пирамиды равен $\alpha$. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида `SABCD` с вершиной `S` и основанием `ABCD`. По условию, плоский угол при вершине равен `\alpha`, то есть угол при вершине `S` в каждой боковой грани равен `\alpha`. Например, `\angle CSD = \alpha`.

Нам необходимо найти двугранный угол при ребре основания, например, при ребре `CD`. Этот угол образован плоскостью боковой грани `(SCD)` и плоскостью основания `(ABCD)`.

Для измерения этого двугранного угла построим его линейный угол.1. Проведём апофему `SM` в грани `SCD` (где `M` – середина ребра `CD`). Так как треугольник `SCD` равнобедренный (`SC=SD`), апофема `SM` является также его высотой, то есть `SM \perp CD`.2. Пусть `O` – центр квадрата `ABCD`. Соединим `O` и `M`. В квадрате `ABCD` отрезок `OM` соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому `OM` перпендикулярен этой стороне: `OM \perp CD`.

Поскольку `SM \perp CD` и `OM \perp CD`, угол `\angle SMO` является линейным углом искомого двугранного угла. Обозначим этот угол через `\beta`.

Рассмотрим треугольник `SOM`. Так как `SO` – высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе `OM`. Следовательно, треугольник `SOM` – прямоугольный с прямым углом `\angle SOM`.

Из прямоугольного треугольника `SOM` имеем:`\cos\beta = \cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM}`

Теперь выразим длины отрезков `OM` и `SM` через параметры пирамиды. Пусть длина бокового ребра `SD` равна `b`.

В равнобедренном треугольнике `SCD`, апофема `SM` является также биссектрисой угла `\angle CSD`. Поэтому `\angle DSM = \frac{\alpha}{2}`.Из прямоугольного треугольника `SMD` находим:`MD = SD \cdot \sin(\angle DSM) = b \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})``SM = SD \cdot \cos(\angle DSM) = b \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})`

Сторона основания `a = CD = 2 \cdot MD = 2b \sin(\frac{\alpha}{2})`.Отрезок `OM` равен половине стороны квадрата `AD` (которая равна `CD`).`OM = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 2b \sin(\frac{\alpha}{2}) = b \sin(\frac{\alpha}{2})`.

Подставим полученные выражения для `OM` и `SM` в формулу для косинуса `\beta`:`\cos\beta = \frac{OM}{SM} = \frac{b \sin(\frac{\alpha}{2})}{b \cos(\frac{\alpha}{2})} = \tan(\frac{\alpha}{2})`

Таким образом, искомый двугранный угол `\beta` равен `\arccos(\tan(\frac{\alpha}{2}))`.

Ответ: `\arccos(\tan(\frac{\alpha}{2}))`