Номер 198, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD, O — точка пересечения его диагоналей, $\angle SAC = \angle SCA$, $\angle SBD = \angle SDB$. Докажите, что отрезок SO — высоты пирамиды.

Чтобы доказать, что отрезок $SO$ является высотой пирамиды $SABCD$, необходимо доказать, что он перпендикулярен плоскости ее основания $(ABC)$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых в плоскости основания $(ABC)$ рассмотрим диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle SAC$. По условию задачи дано, что $\angle SAC = \angle SCA$. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, треугольник $\triangle SAC$ — равнобедренный, а стороны, лежащие против равных углов, равны: $SA = SC$.

2. Основанием пирамиды является параллелограмм $ABCD$. По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам. Значит, $O$ является серединой диагонали $AC$. В равнобедренном треугольнике $\triangle SAC$ отрезок $SO$ соединяет вершину с серединой основания, то есть является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $SO \perp AC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle SBD$. По условию $\angle SBD = \angle SDB$. Аналогично предыдущим рассуждениям, это означает, что треугольник $\triangle SBD$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $SB = SD$.

4. Точка $O$ также является серединой диагонали $BD$. В равнобедренном треугольнике $\triangle SBD$ отрезок $SO$ является медианой, проведенной к основанию $BD$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является и высотой. Следовательно, $SO \perp BD$.

5. Таким образом, мы установили, что отрезок $SO$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым $AC$ и $BD$, лежащим в плоскости основания $(ABC)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, отсюда следует, что прямая $SO$ перпендикулярна всей плоскости $(ABC)$.

По определению, высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания. Так как $SO \perp (ABC)$, отрезок $SO$ является высотой пирамиды $SABCD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.