Номер 204, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

204. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $60^\circ$.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

По условию, все двугранные углы при ребре основания равны $60°$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Также для такой пирамиды справедлива формула для площади боковой поверхности:$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$, где $\alpha$ - двугранный угол при ребре основания.

1. Найдем площадь основания.
Основанием является равнобокая трапеция с основаниями $a = 8$ см и $b = 4$ см.
Так как в трапецию можно вписать окружность (следствие из равенства двугранных углов), то сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть $c$ - длина боковой стороны трапеции. Тогда:$a + b = c + c = 2c$
$8 + 4 = 2c$
$12 = 2c$
$c = 6$ см.

Для нахождения площади трапеции нам нужна ее высота $h$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Она отсечет на большем основании отрезок, длина которого равна $\frac{a-b}{2}$.

Этот отрезок, высота $h$ и боковая сторона $c$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$h^2 + (\frac{a-b}{2})^2 = c^2$
$h^2 + (\frac{8-4}{2})^2 = 6^2$
$h^2 + 2^2 = 36$
$h^2 = 36 - 4 = 32$
$h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем площадь основания (трапеции):$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8+4}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 6 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности.
Используем формулу для пирамиды с равными двугранными углами при основании:$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(60°)}$
Так как $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, получаем:$S_{бок} = \frac{24\sqrt{2}}{1/2} = 2 \cdot 24\sqrt{2} = 48\sqrt{2}$ см².

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 24\sqrt{2} + 48\sqrt{2} = 72\sqrt{2}$ см².

Ответ: $72\sqrt{2}$ см².