Страница 30 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Сторона основания правильной пирамиды $MABCD$ равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ $AC$ основания параллельно ребру $MD$.

2) Найдите площадь построенного сечения.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно ребру MD.

Пусть $MABCD$ – данная правильная пирамида. В основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$. $M$ – вершина пирамиды, $O$ – центр основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). $MO$ – высота пирамиды.

Нам нужно построить сечение плоскостью $\beta$, которая проходит через диагональ $AC$ и параллельна ребру $MD$.

1. Так как плоскость $\beta$ проходит через $AC$, то прямая $AC$ принадлежит этой плоскости.

2. По условию, плоскость $\beta$ параллельна прямой $MD$ ($MD \parallel \beta$).

3. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $MBD$. Эта плоскость содержит прямую $MD$.

4. Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $MBD$. По свойству параллельности прямой и плоскости, линия пересечения этих двух плоскостей должна быть параллельна прямой $MD$.

5. Точка $O = AC \cap BD$ является общей точкой для плоскости $\beta$ (так как $AC \subset \beta$) и плоскости $MBD$ (так как $O \in BD$).

6. Проведем в плоскости $MBD$ через точку $O$ прямую, параллельную $MD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $MB$ в точке $K$. Таким образом, $OK \parallel MD$.

7. Поскольку $O$ является серединой диагонали $BD$ (в квадрате диагонали точкой пересечения делятся пополам), а $OK \parallel MD$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) $OK$ является средней линией треугольника $MBD$. Следовательно, точка $K$ – середина ребра $MB$.

8. Соединив точки $A$, $K$ и $C$, получаем искомое сечение – треугольник $AKC$.

Ответ: Искомое сечение – треугольник $AKC$, где $K$ – середина бокового ребра $MB$.

2) Найдите площадь построенного сечения.

Площадь сечения (треугольника $AKC$) можно найти по формуле: $S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot KO$. Для использования этой формулы необходимо доказать, что $KO$ является высотой треугольника $AKC$, проведенной к основанию $AC$.

Докажем, что $KO \perp AC$. В правильной пирамиде высота $MO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, значит, $MO \perp AC$. В основании лежит квадрат $ABCD$, его диагонали перпендикулярны: $BD \perp AC$. Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($MO$ и $BD$) в плоскости $MBD$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $MBD$ ($AC \perp (MBD)$). Поскольку прямая $KO$ лежит в плоскости $MBD$ ($K \in MB, O \in BD$), то $AC \perp KO$. Таким образом, $KO$ – высота треугольника $AKC$.

Теперь найдем длины отрезков $AC$ и $KO$.

1. $AC$ – диагональ квадрата $ABCD$ со стороной $a$. Ее длина равна $AC = a\sqrt{2}$.

2. $KO$ является средней линией треугольника $MBD$, поэтому $KO = \frac{1}{2} MD$. Найдем длину бокового ребра $MD$.

3. Угол $\alpha$ между боковым ребром (например, $MD$) и плоскостью основания – это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $MD$ на плоскость $ABCD$ является отрезок $OD$. Следовательно, $\angle MDO = \alpha$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOD$ (где $\angle MOD = 90^\circ$). Катет $OD$ равен половине диагонали $BD$: $OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

5. Из $\triangle MOD$ выразим гипотенузу $MD$: $\cos(\alpha) = \frac{OD}{MD} \Rightarrow MD = \frac{OD}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{2}/2}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{2}}{2\cos(\alpha)}$.

6. Теперь найдем длину $KO$: $KO = \frac{1}{2} MD = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{2}}{4\cos(\alpha)}$.

7. Наконец, вычислим площадь сечения $AKC$: $S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{4\cos(\alpha)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{4\cos(\alpha)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a^2}{4\cos(\alpha)} = \frac{a^2}{4\cos(\alpha)}$.

Ответ: $S_{сеч} = \frac{a^2}{4\cos(\alpha)}$.

198. Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD, O — точка пересечения его диагоналей, $\angle SAC = \angle SCA$, $\angle SBD = \angle SDB$. Докажите, что отрезок SO — высоты пирамиды.

Чтобы доказать, что отрезок $SO$ является высотой пирамиды $SABCD$, необходимо доказать, что он перпендикулярен плоскости ее основания $(ABC)$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых в плоскости основания $(ABC)$ рассмотрим диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle SAC$. По условию задачи дано, что $\angle SAC = \angle SCA$. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, треугольник $\triangle SAC$ — равнобедренный, а стороны, лежащие против равных углов, равны: $SA = SC$.

2. Основанием пирамиды является параллелограмм $ABCD$. По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам. Значит, $O$ является серединой диагонали $AC$. В равнобедренном треугольнике $\triangle SAC$ отрезок $SO$ соединяет вершину с серединой основания, то есть является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $SO \perp AC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle SBD$. По условию $\angle SBD = \angle SDB$. Аналогично предыдущим рассуждениям, это означает, что треугольник $\triangle SBD$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $SB = SD$.

4. Точка $O$ также является серединой диагонали $BD$. В равнобедренном треугольнике $\triangle SBD$ отрезок $SO$ является медианой, проведенной к основанию $BD$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является и высотой. Следовательно, $SO \perp BD$.

5. Таким образом, мы установили, что отрезок $SO$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым $AC$ и $BD$, лежащим в плоскости основания $(ABC)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, отсюда следует, что прямая $SO$ перпендикулярна всей плоскости $(ABC)$.

По определению, высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания. Так как $SO \perp (ABC)$, отрезок $SO$ является высотой пирамиды $SABCD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

199. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её высота равна 4 см, а боковые рёбра равны.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $AB=8$ см и $BC=6$ см. Высота пирамиды $SO = h = 4$ см. Так как боковые ребра пирамиды равны ($SA=SB=SC=SD$), то вершина $S$ проецируется в центр описанной около основания окружности. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей $O$.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех боковых граней. Грани являются попарно равными равнобедренными треугольниками: $\triangle SAB = \triangle SCD$ и $\triangle SBC = \triangle SDA$.

Таким образом, формула для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC}$

Для нахождения площадей этих треугольников нужно найти их высоты, проведенные из вершины $S$ (апофемы).

1. Найдем апофему $SK$ для грани $SAB$.

Проведем высоту $SK$ в треугольнике $SAB$. $K$ — середина стороны $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$. В нем катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO=4$ см. Катет $OK$ — это расстояние от центра прямоугольника до стороны $AB$. Оно равно половине длины стороны $BC$.

$OK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $SK$ (апофему):

$SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь найдем площадь двух граней $SAB$ и $SCD$:

$2 \cdot S_{\triangle SAB} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK\right) = AB \cdot SK = 8 \cdot 5 = 40$ см².

2. Найдем апофему $SL$ для грани $SBC$.

Проведем высоту $SL$ в треугольнике $SBC$. $L$ — середина стороны $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOL$. В нем катет $SO = 4$ см. Катет $OL$ — это расстояние от центра прямоугольника до стороны $BC$. Оно равно половине длины стороны $AB$.

$OL = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $SL$ (апофему):

$SL = \sqrt{SO^2 + OL^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем площадь двух граней $SBC$ и $SDA$:

$2 \cdot S_{\triangle SBC} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BC \cdot SL\right) = BC \cdot SL = 6 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см².

3. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Сложим площади всех боковых граней:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC} = 40 + 24\sqrt{2}$ см².

Ответ: $40 + 24\sqrt{2}$ см².

200. Основанием пирамиды $SABC$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = 6\sqrt{2}$ см, $\angle C = 135^\circ$. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания пирамиды угол $30^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть $SO$ – высота пирамиды $SABC$, где $S$ – вершина, а точка $O$ – основание высоты, лежащее в плоскости треугольника $ABC$.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания – это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекциями боковых ребер $SA$, $SB$ и $SC$ на плоскость основания $(ABC)$ являются отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ соответственно.

По условию, все боковые ребра образуют с плоскостью основания угол $30°$. Это означает, что $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = 30°$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA$, $\triangle SOB$ и $\triangle SOC$. Они являются прямоугольными, так как $SO$ – высота, т.е. $SO \perp (ABC)$. У этих треугольников общий катет $SO$ и равные острые углы ($\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = 30°$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует, что их катеты $OA$, $OB$ и $OC$ равны. Равенство отрезков $OA=OB=OC$ означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Длина этих отрезков равна радиусу $R$ этой окружности.

Чтобы найти высоту пирамиды $SO$, нам сначала нужно найти этот радиус $R$. Для треугольника $ABC$ известна сторона $AB = 6\sqrt{2}$ см и противолежащий ей угол $\angle C = 135°$. По следствию из теоремы синусов: $$ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = 2R $$ где $R$ – радиус описанной окружности.

Подставим известные значения. Учитывая, что $\sin(135°) = \sin(180° - 45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $$ 2R = \frac{6\sqrt{2}}{\sin(135°)} = \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 12 \text{ см} $$ Отсюда находим радиус: $$ R = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. Мы знаем катет $OA = R = 6$ см и угол $\angle SAO = 30°$. Высота пирамиды $SO$ является другим катетом этого треугольника. Найдем $SO$ через тангенс угла $\angle SAO$: $$ \tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA} $$ $$ SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) $$

Подставляем значения $OA=6$ и $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$: $$ SO = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см} $$

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

201. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 9 см, а острый угол — $60^\circ$. Диагональ этой трапеции перпендикулярна её боковой стороне. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите боковые рёбра пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По условию, боковая сторона $CD = 9$ см, а острый угол при большем основании $∠ADC = 60°$. Диагональ трапеции AC перпендикулярна её боковой стороне CD, следовательно, треугольник ACD является прямоугольным с $∠ACD = 90°$.

1. Анализ основания (трапеции).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. В нем известны катет CD и прилежащий к нему острый угол $∠ADC$. Найдем гипотенузу AD (большее основание трапеции) и катет AC (диагональ трапеции).
$AD = \frac{CD}{\cos(∠ADC)} = \frac{9}{\cos(60°)} = \frac{9}{1/2} = 18$ см.
$AC = CD \cdot \tan(∠ADC) = 9 \cdot \tan(60°) = 9\sqrt{3}$ см.

2. Свойства пирамиды и радиус описанной окружности.
По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60°$. Это означает, что вершина пирамиды (пусть это точка S) проецируется в центр O окружности, описанной около основания ABCD. Проекции боковых ребер на плоскость основания (отрезки OA, OB, OC, OD) равны радиусу R этой описанной окружности.
Найдем радиус R окружности, описанной около трапеции ABCD. Он равен радиусу окружности, описанной около треугольника ACD. По теореме синусов для треугольника ACD:
$\frac{AC}{\sin(∠ADC)} = 2R$
$R = \frac{AC}{2\sin(∠ADC)} = \frac{9\sqrt{3}}{2\sin(60°)} = \frac{9\sqrt{3}}{2 \cdot (\sqrt{3}/2)} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9$ см.

3. Нахождение длины бокового ребра.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA, где S - вершина пирамиды, O - ее проекция на основание, A - одна из вершин основания. SA - боковое ребро, OA - его проекция на основание (равная радиусу R), а $∠SAO$ - угол между боковым ребром и плоскостью основания, который равен $60°$.
Из треугольника SOA найдем гипотенузу SA (длину бокового ребра):
$\cos(∠SAO) = \frac{OA}{SA}$
$SA = \frac{OA}{\cos(∠SAO)} = \frac{R}{\cos(60°)} = \frac{9}{1/2} = 18$ см.
Поскольку все боковые ребра пирамиды образуют одинаковый угол с основанием, их длины равны.
Ответ: 18 см.

202. Основанием пирамиды является ромб, меньшая диагональ которого равна 4 см, а острый угол — $60^\circ$. Каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является ромб $ABCD$ с острым углом $\angle A = 60^\circ$. Меньшая диагональ ромба $BD$ лежит против острого угла и делит ромб на два равносторонних треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Поскольку меньшая диагональ равна 4 см, то есть $BD = 4$ см, то и стороны этих равносторонних треугольников равны 4 см. Следовательно, сторона ромба $a$ также равна 4 см ($a = AB = BC = CD = DA = 4$ см).

Условие о том, что все двугранные углы при ребрах основания равны, означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности. Обозначим этот центр как $O$. Расстояние от центра $O$ до любой стороны ромба равно радиусу вписанной окружности $r$.

Найдем радиус вписанной окружности $r$. Сначала вычислим высоту ромба $h$:$h = a \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты:$r = \frac{h}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Проведем апофему $SK$ (высоту боковой грани $SAB$) к стороне основания $AB$. Отрезок $OK$ соединяет центр вписанной окружности с точкой касания $K$, поэтому $OK \perp AB$ и $OK = r = \sqrt{3}$ см. Угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$, и по условию он равен $45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$, где $SO$ — высота пирамиды, $OK$ — радиус вписанной окружности, а $SK$ — апофема. В этом треугольнике:$\cos(\angle SKO) = \frac{OK}{SK}$Отсюда найдем апофему $SK$:$SK = \frac{OK}{\cos(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}$ см.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех одинаковых боковых граней (грани равны, так как стороны основания равны и апофемы равны).Площадь одной боковой грани $\triangle SAB$:$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$ см$^2$.

Тогда площадь всей боковой поверхности:$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SAB} = 4 \cdot 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$ см$^2$.

Ответ: $8\sqrt{6}$ см$^2$.

203. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $2\alpha$ при основании и радиусом вписанной окружности $r$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\beta$.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB = BC$. Углы при основании треугольника равны $\angle BAC = \angle BCA = 2\alpha$, следовательно, угол при вершине $\angle ABC = 180^\circ - 2 \cdot (2\alpha) = \pi - 4\alpha$. Радуис вписанной в основание окружности равен $r$. Все двугранные углы при ребрах основания равны $\beta$.

Так как все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, то вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр) $O$. Высота пирамиды $H=SO$ перпендикулярна плоскости основания. Расстояние от инцентра $O$ до каждой стороны основания равно радиусу вписанной окружности $r$.

Апофема (высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды) $h_a$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$. Двугранный угол $\beta$ является углом между апофемой и радиусом, проведенным в точку касания. Таким образом, $\cos\beta = \frac{r}{h_a}$, откуда $h_a = \frac{r}{\cos\beta}$. Так как радиус $r$ один и тот же для всех сторон, все апофемы боковых граней равны.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней:

$S_{бок} = \frac{1}{2} AC \cdot h_a + \frac{1}{2} AB \cdot h_a + \frac{1}{2} BC \cdot h_a = \frac{1}{2} (AC+AB+BC) \cdot h_a = p \cdot h_a$,

где $p$ — полупериметр основания. Подставив выражение для апофемы, получим:

$S_{бок} = p \cdot \frac{r}{\cos\beta} = \frac{p \cdot r}{\cos\beta}$.

Площадь основания $S_{осн}$ треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности как $S_{осн} = p \cdot r$. Таким образом, получаем известное соотношение:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\beta}$.

Теперь найдем площадь основания. Для этого нам нужно вычислить полупериметр $p$. Полупериметр можно найти, зная углы треугольника и радиус вписанной окружности. Углы треугольника $A$, $B$, $C$ равны $2\alpha$, $\pi-4\alpha$ и $2\alpha$ соответственно. Полупериметр связан с радиусом вписанной окружности и углами по формуле:

$p = r \left( \cot\frac{A}{2} + \cot\frac{B}{2} + \cot\frac{C}{2} \right)$.

Подставляем значения наших углов:

$p = r \left( \cot\frac{2\alpha}{2} + \cot\frac{\pi-4\alpha}{2} + \cot\frac{2\alpha}{2} \right) = r \left( \cot\alpha + \cot\left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right) + \cot\alpha \right)$.

Используя формулу приведения $\cot(\frac{\pi}{2}-x) = \tan(x)$, получаем:

$p = r(2\cot\alpha + \tan(2\alpha))$.

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{осн} = p \cdot r = r^2(2\cot\alpha + \tan(2\alpha))$.

Наконец, находим площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\beta} = \frac{r^2(2\cot\alpha + \tan(2\alpha))}{\cos\beta}$.

Можно упростить выражение в скобках:

$2\cot\alpha + \tan(2\alpha) = \frac{2\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{2\cos\alpha\cos(2\alpha) + \sin\alpha\sin(2\alpha)}{\sin\alpha\cos(2\alpha)}$.

Числитель дроби равен $2\cos\alpha\cos(2\alpha) + \sin\alpha\sin(2\alpha) = \cos\alpha\cos(2\alpha) + (\cos\alpha\cos(2\alpha) + \sin\alpha\sin(2\alpha)) = \cos\alpha\cos(2\alpha) + \cos(2\alpha-\alpha) = \cos\alpha\cos(2\alpha) + \cos\alpha = \cos\alpha(1+\cos(2\alpha))$.

Используя формулу $1+\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$, получаем, что числитель равен $\cos\alpha \cdot 2\cos^2\alpha = 2\cos^3\alpha$.

Таким образом, $2\cot\alpha + \tan(2\alpha) = \frac{2\cos^3\alpha}{\sin\alpha\cos(2\alpha)}$.

Подставляя это в формулу для площади боковой поверхности, получаем окончательный вид ответа.

Ответ: $S_{бок} = \frac{r^2(2\cot\alpha + \tan(2\alpha))}{\cos\beta} = \frac{2r^2\cos^3\alpha}{\sin\alpha\cos(2\alpha)\cos\beta}$.

204. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $60^\circ$.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

По условию, все двугранные углы при ребре основания равны $60°$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Также для такой пирамиды справедлива формула для площади боковой поверхности:$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$, где $\alpha$ - двугранный угол при ребре основания.

1. Найдем площадь основания.
Основанием является равнобокая трапеция с основаниями $a = 8$ см и $b = 4$ см.
Так как в трапецию можно вписать окружность (следствие из равенства двугранных углов), то сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть $c$ - длина боковой стороны трапеции. Тогда:$a + b = c + c = 2c$
$8 + 4 = 2c$
$12 = 2c$
$c = 6$ см.

Для нахождения площади трапеции нам нужна ее высота $h$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Она отсечет на большем основании отрезок, длина которого равна $\frac{a-b}{2}$.

Этот отрезок, высота $h$ и боковая сторона $c$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$h^2 + (\frac{a-b}{2})^2 = c^2$
$h^2 + (\frac{8-4}{2})^2 = 6^2$
$h^2 + 2^2 = 36$
$h^2 = 36 - 4 = 32$
$h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем площадь основания (трапеции):$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8+4}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 6 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности.
Используем формулу для пирамиды с равными двугранными углами при основании:$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(60°)}$
Так как $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, получаем:$S_{бок} = \frac{24\sqrt{2}}{1/2} = 2 \cdot 24\sqrt{2} = 48\sqrt{2}$ см².

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 24\sqrt{2} + 48\sqrt{2} = 72\sqrt{2}$ см².

Ответ: $72\sqrt{2}$ см².