Страница 28 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Пирамида

177. Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а сторона основания — 6 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. В основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 6$ см. Высота пирамиды $h$ равна 8 см. Необходимо найти длину бокового ребра $l$.

Высота правильной пирамиды опускается в центр ее основания. Для равностороннего треугольника центр является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот, а также центром описанной окружности. Боковое ребро $l$, высота пирамиды $h$ и радиус $R$ описанной около основания окружности образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:$l^2 = h^2 + R^2$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a = 6$ см по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$:$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь подставим известные значения высоты $h = 8$ см и радиуса $R = 2\sqrt{3}$ см в формулу теоремы Пифагора, чтобы найти длину бокового ребра $l$:$l^2 = 8^2 + (2\sqrt{3})^2 = 64 + 4 \cdot 3 = 64 + 12 = 76$.

Отсюда длина бокового ребра равна:$l = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$ см.

Ответ: $2\sqrt{19}$ см.

178. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а боковое ребро — 6 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Для решения задачи рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду. В её основании лежит квадрат, а высота опускается в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей).

Обозначим:

• $H$ — высота пирамиды, $H = 10$ см.
• $L$ — боковое ребро пирамиды, $L = 6$ см.
• $a$ — сторона основания (квадрата).
• $d$ — диагональ основания.

Высота пирамиды ($H$), боковое ребро ($L$) и половина диагонали основания ($d/2$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Боковое ребро $L$ является гипотенузой.
• Высота $H$ и половина диагонали $d/2$ являются катетами.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $L^2 = H^2 + (d/2)^2$

Подставим в формулу значения, данные в условии задачи: $6^2 = 10^2 + (d/2)^2$ $36 = 100 + (d/2)^2$

Выразим из этого уравнения квадрат половины диагонали: $(d/2)^2 = 36 - 100$ $(d/2)^2 = -64$

Полученное уравнение не имеет решения в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Противоречие также следует из основного свойства прямоугольного треугольника: любой катет всегда короче гипотенузы. В данном случае катет (высота $H = 10$ см) оказывается длиннее гипотенузы (боковое ребро $L = 6$ см), что невозможно.

Это означает, что пирамида с заданными параметрами не существует. Вероятно, в условии задачи допущена ошибка.

Ответ: Задача не имеет решения, так как пирамида с указанными параметрами не может существовать (боковое ребро не может быть короче высоты).

179. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 18 см и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $S$ — вершина, а $ABC$ — равносторонний треугольник в основании. Пусть $SO$ — высота пирамиды, опущенная на основание, где $O$ — центр треугольника $ABC$. Боковое ребро $SA = 18$ см.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией бокового ребра $SA$ на плоскость основания $ABC$ является отрезок $OA$. Следовательно, по условию, угол $\angle SAO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SAO$. Он является прямоугольным, так как высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и отрезку $OA$ ($\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $SA = 18$ см и острый угол $\angle SAO = 45^\circ$.

Мы можем найти длину катета $OA$, который является проекцией бокового ребра на основание. Используем косинус угла $\angle SAO$:
$OA = SA \cdot \cos(45^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$ см.

Точка $O$ является центром правильного треугольника $ABC$, поэтому отрезок $OA$ является радиусом $R$ окружности, описанной около этого треугольника.

Для правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ вычисляется по формуле:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Зная, что $OA = R = 9\sqrt{2}$ см, мы можем найти сторону основания $a$:
$a = R \cdot \sqrt{3}$
$a = 9\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{6}$ см.

Ответ: $9\sqrt{6}$ см.

180. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если оно образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида `SABCD`, где `ABCD` – квадрат в основании, а `S` – вершина пирамиды. Сторона основания `a = AB = 6` см.

Боковое ребро, например `SA`, образует с плоскостью основания угол в $30°$. Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией бокового ребра `SA` на плоскость основания `(ABC)` является отрезок `AO`, где `O` – центр квадрата `ABCD` (точка пересечения диагоналей). Таким образом, угол `∠SAO = 30°`.

Высота пирамиды `SO` перпендикулярна плоскости основания, следовательно, треугольник `ΔSAO` является прямоугольным с прямым углом `∠SOA`. В этом треугольнике:

• `SA` – гипотенуза (искомое боковое ребро).
• `AO` – катет, прилежащий к углу `∠SAO`.
• `SO` – катет, противолежащий углу `∠SAO`.

Найдем длину катета `AO`. `AO` – это половина диагонали квадрата `ABCD`. Диагональ квадрата `d` со стороной `a` вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.

$AC = 6\sqrt{2}$ см.

$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике `ΔSAO` мы знаем катет `AO` и прилежащий к нему угол `∠SAO`. Мы можем найти гипотенузу `SA` через косинус этого угла.

$\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA}$

Подставим известные значения:

$\cos(30°) = \frac{3\sqrt{2}}{SA}$

Мы знаем, что $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{SA}$

Выразим `SA`:

$SA = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$SA = \frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

181. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник, а высота пирамиды $SO$ опускается в центр основания $O$. По условию задачи, высота $SO = 6$ см.

Угол, который боковая грань образует с плоскостью основания, является двугранным углом при ребре основания. Рассмотрим боковую грань $SBC$ и ребро основания $BC$. Для измерения этого угла построим его линейный угол.

Проведем апофему $SM$ в грани $SBC$, где $M$ — середина ребра $BC$. Поскольку пирамида правильная, грань $SBC$ — равнобедренный треугольник, и его медиана $SM$ является также высотой, т.е. $SM \perp BC$.

В плоскости основания $ABC$ соединим центр $O$ с точкой $M$. Отрезок $OM$ является радиусом окружности, вписанной в треугольник $ABC$, и перпендикулярен стороне $BC$ ($OM \perp BC$).

Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью боковой грани $SBC$ и плоскостью основания $ABC$. По условию, $\angle SMO = 45°$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он прямоугольный, так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и отрезку $OM$. Следовательно, $\angle SOM = 90°$.

В прямоугольном треугольнике $SOM$ мы знаем катет $SO = 6$ см и острый угол $\angle SMO = 45°$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$, то второй острый угол $\angle OSM = 90° - 45° = 45°$. Это означает, что треугольник $SOM$ является равнобедренным, и его катеты равны: $OM = SO = 6$ см.

Отрезок $OM$ — это радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник $ABC$. Радиус вписанной окружности связан со стороной основания $a$ по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ или, что то же самое, $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Подставим известное значение $r = OM = 6$ см в формулу и найдем сторону основания $a$: $6 = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Выразим отсюда $a$: $a\sqrt{3} = 6 \cdot 6 = 36$ $a = \frac{36}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $a = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.

182. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида `SABCD`, где `ABCD` — квадрат в основании, а `S` — вершина пирамиды. Сторона основания `AB = a = 10` см. Высота пирамиды — это перпендикуляр `SO`, опущенный из вершины `S` на плоскость основания, где `O` — центр квадрата `ABCD`.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это двугранный угол. Чтобы найти его линейный угол, построим апофему `SM` боковой грани `SBC` (где `M` — середина ребра `BC`). Так как пирамида правильная, `SM` является высотой боковой грани, то есть `SM \perp BC`.

Отрезок `OM` является проекцией апофемы `SM` на плоскость основания. В квадрате `ABCD` точка `O` — центр, а `M` — середина стороны `BC`, следовательно, `OM \perp BC`. Таким образом, угол `\angle SMO` является линейным углом двугранного угла между гранью `SBC` и основанием `ABCD`. По условию, `\angle SMO = 30^\circ`.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `\triangle SOM` (угол `\angle SOM = 90^\circ`).

Катет `SO` — это искомая высота пирамиды `H`.

Катет `OM` равен половине стороны основания, так как `OM` — это расстояние от центра квадрата до его стороны.

`OM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5` см.

В прямоугольном треугольнике `\triangle SOM` тангенс угла `\angle SMO` равен отношению противолежащего катета `SO` к прилежащему катету `OM`:

`\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}`

Отсюда можем выразить высоту `SO`:

`SO = OM \cdot \tan(\angle SMO)`

Подставим известные значения:

`H = SO = 5 \cdot \tan(30^\circ)`

Мы знаем, что `\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}`. Тогда:

`H = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}` см.

Ответ: `\frac{5\sqrt{3}}{3}` см.

183. Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной пирамиды равна 48 см$^2$, а сторона основания — $8\sqrt{2}$ см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида. В её основании лежит квадрат. Обозначим сторону основания как $a$, диагональ основания как $d$, высоту пирамиды как $h$ и боковое ребро как $l$.

По условию задачи площадь диагонального сечения $S_{сеч} = 48$ см², а сторона основания $a = 8\sqrt{2}$ см.

1. Найдём диагональ основания.

Так как в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, его диагональ $d$ можно найти по формуле $d = a\sqrt{2}$, где $a$ — сторона квадрата. Подставим известное значение стороны основания:
$d = (8\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot (\sqrt{2})^2 = 8 \cdot 2 = 16$ см.

2. Найдём высоту пирамиды.

Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диагональ основания пирамиды $d$, а высотой — высота пирамиды $h$. Площадь этого треугольника (диагонального сечения) вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h$
Из этой формулы выразим высоту $h$:
$h = \frac{2 \cdot S_{сеч}}{d}$
Подставим известные значения площади сечения и диагонали:
$h = \frac{2 \cdot 48}{16} = \frac{96}{16} = 6$ см.

3. Найдём боковое ребро пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, половиной диагонали основания $\frac{d}{2}$ и боковым ребром $l$. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а $h$ и $\frac{d}{2}$ — катетами. По теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + (\frac{d}{2})^2$
Нам известны $h = 6$ см и $d = 16$ см, следовательно, $\frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. Подставим эти значения в формулу:
$l^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$l = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

184. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4 см, а её апофема — 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) можно найти по формуле:$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$,где $P$ — это периметр основания, а $l$ — апофема пирамиды (то есть высота боковой грани).

1. Найдем периметр основания.В основании лежит правильный шестиугольник. У правильного шестиугольника 6 равных сторон.Сторона основания по условию равна $a = 4$ см.Периметр основания $P$ равен сумме длин всех его сторон:$P = 6 \cdot a = 6 \cdot 4 = 24$ см.

2. Рассчитаем площадь боковой поверхности.Апофема пирамиды по условию равна $l = 8$ см.Подставим значения периметра $P$ и апофемы $l$ в формулу:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 12 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$.

Ответ: $96 \text{ см}^2$.

185. Плоский угол при вершине правильной пятиугольной пирамиды равен $60^\circ$, а боковое ребро — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) равна произведению количества боковых граней на площадь одной грани. В основании правильной пятиугольной пирамиды лежит правильный пятиугольник, следовательно, у нее 5 одинаковых боковых граней.

Каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник, у которого две равные стороны — это боковые ребра пирамиды, а угол между ними — это плоский угол при вершине пирамиды.

Дано:

• длина бокового ребра $l = 6$ см;
• плоский угол при вершине $\alpha = 60^\circ$.

Площадь одной боковой грани ($S_{грань}$) можно вычислить по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{грань} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}l^2\sin(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу:

$S_{грань} = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{грань} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см².

Так как боковая грань — это равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$, то углы при основании равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Это означает, что каждая боковая грань является равносторонним треугольником со стороной 6 см. Площадь такого треугольника можно также найти по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a=6$ см, что дает тот же результат: $S_{грань} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей пяти одинаковых боковых граней:

$S_{бок} = 5 \cdot S_{грань} = 5 \cdot 9\sqrt{3} = 45\sqrt{3}$ см².

Ответ: $45\sqrt{3}$ см².

186. Как изменится площадь боковой поверхности правильной пирамиды, если сторону основания увеличить в 3 раза, а апофему — в 2 раза?

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$

где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

Периметр основания, в свою очередь, зависит от длины стороны основания. Если основание — правильный n-угольник со стороной $a$, то его периметр равен $P = n \cdot a$.

Тогда формулу площади боковой поверхности можно записать как:

$S_{бок} = \frac{1}{2} (n \cdot a) \cdot l$

Обозначим начальную площадь боковой поверхности как $S_1$, начальную сторону основания как $a_1$ и начальную апофему как $l_1$.

$S_1 = \frac{1}{2} n \cdot a_1 \cdot l_1$

По условию задачи, сторону основания увеличили в 3 раза, а апофему — в 2 раза. Новые параметры будут:

Новая сторона основания: $a_2 = 3a_1$

Новая апофема: $l_2 = 2l_1$

Теперь вычислим новую площадь боковой поверхности $S_2$, подставив новые значения в формулу:

$S_2 = \frac{1}{2} n \cdot a_2 \cdot l_2 = \frac{1}{2} n \cdot (3a_1) \cdot (2l_1)$

Сгруппируем множители:

$S_2 = (3 \cdot 2) \cdot (\frac{1}{2} n \cdot a_1 \cdot l_1)$

Так как выражение в скобках равно начальной площади $S_1$, получаем:

$S_2 = 6 \cdot S_1$

Это означает, что площадь боковой поверхности увеличится в 6 раз.

Ответ: Площадь боковой поверхности увеличится в 6 раз.