gdz.top
Номер 182, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
№181
№182 (с. 28)
Условие. №182 (с. 28)
182. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите высоту пирамиды.
Решение. №182 (с. 28)
Решение 2. №182 (с. 28)
Пусть дана правильная четырехугольная пирамида `SABCD`, где `ABCD` — квадрат в основании, а `S` — вершина пирамиды. Сторона основания `AB = a = 10` см. Высота пирамиды — это перпендикуляр `SO`, опущенный из вершины `S` на плоскость основания, где `O` — центр квадрата `ABCD`.
Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это двугранный угол. Чтобы найти его линейный угол, построим апофему `SM` боковой грани `SBC` (где `M` — середина ребра `BC`). Так как пирамида правильная, `SM` является высотой боковой грани, то есть `SM \perp BC`.
Отрезок `OM` является проекцией апофемы `SM` на плоскость основания. В квадрате `ABCD` точка `O` — центр, а `M` — середина стороны `BC`, следовательно, `OM \perp BC`. Таким образом, угол `\angle SMO` является линейным углом двугранного угла между гранью `SBC` и основанием `ABCD`. По условию, `\angle SMO = 30^\circ`.
Рассмотрим прямоугольный треугольник `\triangle SOM` (угол `\angle SOM = 90^\circ`).
Катет `SO` — это искомая высота пирамиды `H`.
Катет `OM` равен половине стороны основания, так как `OM` — это расстояние от центра квадрата до его стороны.
`OM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5` см.
В прямоугольном треугольнике `\triangle SOM` тангенс угла `\angle SMO` равен отношению противолежащего катета `SO` к прилежащему катету `OM`:
`\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}`
Отсюда можем выразить высоту `SO`:
`SO = OM \cdot \tan(\angle SMO)`
Подставим известные значения:
`H = SO = 5 \cdot \tan(30^\circ)`
Мы знаем, что `\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}`. Тогда:
`H = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}` см.
Ответ: `\frac{5\sqrt{3}}{3}` см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 182 расположенного на странице 28 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №182 (с. 28), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.