Номер 182, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — вершина пирамиды. Сторона основания $AB = a = 10$ см. Высота пирамиды — это перпендикуляр $SO$, опущенный из вершины $S$ на плоскость основания, где $O$ — центр квадрата $ABCD$.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это двугранный угол. Чтобы найти его линейный угол, построим апофему $SM$ боковой грани $SBC$ (где $M$ — середина ребра $BC$). Так как пирамида правильная, $SM$ является высотой боковой грани, то есть $SM \perp BC$.

Отрезок $OM$ является проекцией апофемы $SM$ на плоскость основания. В квадрате $ABCD$ точка $O$ — центр, а $M$ — середина стороны $BC$, следовательно, $OM \perp BC$. Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SBC$ и основанием $ABCD$. По условию, $\angle SMO = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$).

Катет $SO$ — это искомая высота пирамиды $H$.

Катет $OM$ равен половине стороны основания, так как $OM$ — это расстояние от центра квадрата до его стороны.

$OM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$ тангенс угла $\angle SMO$ равен отношению противолежащего катета $SO$ к прилежащему катету $OM$:

$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$

Отсюда можем выразить высоту $SO$:

$SO = OM \cdot \tan(\angle SMO)$

Подставим известные значения:

$H = SO = 5 \cdot \tan(30^\circ)$

Мы знаем, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Тогда:

$H = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.