Номер 176, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Основанием параллелепипеда является ромб с углом $60^\circ$. Боковое ребро, выходящее из вершины этого угла, образует с каждой из его сторон угол $45^\circ$. Найдите высоту параллелепипеда, если его боковое ребро равно $6$ см.

Обозначим параллелепипед как $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основание $ABCD$ — ромб с углом $\angle BAD = 60^\circ$. Боковое ребро, выходящее из вершины $A$, это $AA_1$. По условию, его длина $l = AA_1 = 6$ см. Это ребро образует со сторонами ромба $AB$ и $AD$ углы, равные $45^\circ$, то есть $\angle A_1AB = \angle A_1AD = 45^\circ$.

Найдем высоту параллелепипеда $H$. Высота — это длина перпендикуляра, опущенного из любой вершины верхнего основания на плоскость нижнего основания. Опустим высоту $A_1O$ из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Таким образом, $H = A_1O$.

Точка $O$ является проекцией точки $A_1$ на плоскость $(ABC)$. Отрезок $AO$ является проекцией бокового ребра $A_1A$ на ту же плоскость.

Поскольку боковое ребро $A_1A$ образует равные углы со сторонами $AB$ и $AD$, его проекция $AO$ на плоскость основания будет лежать на биссектрисе угла $\angle BAD$. В ромбе биссектриса угла является его диагональю. Следовательно, точка $O$ лежит на диагонали $AC$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Таким образом, угол наклона бокового ребра $A_1A$ к плоскости основания равен $\angle A_1AO$. Обозначим этот угол $\gamma$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle A_1OA$ (где $\angle A_1OA = 90^\circ$) высота $H$ выражается как:
$H = A_1O = A_1A \cdot \sin(\gamma) = 6 \cdot \sin(\gamma)$.

Для нахождения $\sin(\gamma)$ воспользуемся свойством проекций. Проекция отрезка $A_1A$ на прямую $AB$ равна произведению длины этого отрезка на косинус угла между ними:
$Пр_{AB} A_1A = A_1A \cdot \cos(\angle A_1AB) = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.

С другой стороны, проекция отрезка на прямую равна проекции его проекции на эту же прямую. То есть, проекция $A_1A$ на прямую $AB$ равна проекции отрезка $AO$ (проекции $A_1A$ на плоскость) на прямую $AB$.
$Пр_{AB} AO = AO \cdot \cos(\angle OAB)$.

Угол $\angle OAB$ — это угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$ ромба. Так как диагональ является биссектрисой, то $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
Из треугольника $\triangle A_1OA$ мы знаем, что $AO = A_1A \cdot \cos(\gamma) = 6 \cos(\gamma)$.

Приравняем два выражения для проекции на прямую $AB$:
$Пр_{AB} A_1A = Пр_{AB} AO$
$3\sqrt{2} = AO \cdot \cos(30^\circ)$
$3\sqrt{2} = (6 \cos(\gamma)) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$3\sqrt{2} = 3\sqrt{3} \cos(\gamma)$

Отсюда находим $\cos(\gamma)$:
$\cos(\gamma) = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Теперь, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$, найдем $\sin(\gamma)$:
$\sin^2(\gamma) = 1 - \cos^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
Поскольку $\gamma$ — острый угол, $\sin(\gamma) = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Наконец, вычисляем высоту $H$:
$H = 6 \cdot \sin(\gamma) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.