gdz.top
Номер 180, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 1. Пирамида - номер 180, страница 28.
№179
№180 (с. 28)
Условие. №180 (с. 28)
180. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если оно образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.
Решение. №180 (с. 28)
Решение 2. №180 (с. 28)
Пусть дана правильная четырехугольная пирамида `SABCD`, где `ABCD` – квадрат в основании, а `S` – вершина пирамиды. Сторона основания `a = AB = 6` см.
Боковое ребро, например `SA`, образует с плоскостью основания угол в $30°$. Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией бокового ребра `SA` на плоскость основания `(ABC)` является отрезок `AO`, где `O` – центр квадрата `ABCD` (точка пересечения диагоналей). Таким образом, угол `∠SAO = 30°`.
Высота пирамиды `SO` перпендикулярна плоскости основания, следовательно, треугольник `ΔSAO` является прямоугольным с прямым углом `∠SOA`. В этом треугольнике:
- `SA` – гипотенуза (искомое боковое ребро).
- `AO` – катет, прилежащий к углу `∠SAO`.
- `SO` – катет, противолежащий углу `∠SAO`.
Найдем длину катета `AO`. `AO` – это половина диагонали квадрата `ABCD`. Диагональ квадрата `d` со стороной `a` вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.
$AC = 6\sqrt{2}$ см.
$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.
Теперь в прямоугольном треугольнике `ΔSAO` мы знаем катет `AO` и прилежащий к нему угол `∠SAO`. Мы можем найти гипотенузу `SA` через косинус этого угла.
$\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA}$
Подставим известные значения:
$\cos(30°) = \frac{3\sqrt{2}}{SA}$
Мы знаем, что $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{SA}$
Выразим `SA`:
$SA = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$SA = \frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$ см.
Ответ: $2\sqrt{6}$ см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 180 расположенного на странице 28 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №180 (с. 28), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.