Номер 175, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

175. Основанием прямого параллелепипеда является ромб.

Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны $6 \text{ см}^2$ и $8 \text{ см}^2$.

Пусть основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной $a$ и диагоналями $d_1$ и $d_2$. Высота параллелепипеда равна $h$.

Диагональные сечения прямого параллелепипеда представляют собой прямоугольники. Их площади $S_1$ и $S_2$ равны произведению соответствующей диагонали основания на высоту параллелепипеда. Согласно условию задачи:

$S_1 = d_1 \cdot h = 6$ см²

$S_2 = d_2 \cdot h = 8$ см²

Из этих уравнений можно выразить длины диагоналей через высоту: $d_1 = \frac{6}{h}$ и $d_2 = \frac{8}{h}$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому для ромба справедливо свойство, связывающее его сторону и диагонали (оно следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей, а гипотенузой — сторона ромба):

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Подставим в это равенство выражения для $d_1$ и $d_2$, полученные ранее:

$(\frac{6}{h})^2 + (\frac{8}{h})^2 = 4a^2$

$\frac{36}{h^2} + \frac{64}{h^2} = 4a^2$

$\frac{100}{h^2} = 4a^2$

Умножим обе части уравнения на $h^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$100 = 4a^2h^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку длины $a$ и $h$ являются положительными величинами):

$\sqrt{100} = \sqrt{4a^2h^2}$

$10 = 2ah$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямого параллелепипеда вычисляется как произведение периметра его основания $P_{осн}$ на высоту $h$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Периметр основания (ромба) равен $P_{осн} = 4a$. Тогда формула для площади боковой поверхности принимает вид:

$S_{бок} = 4a \cdot h = 4ah$

Ранее мы получили, что $2ah = 10$. Чтобы найти $4ah$, достаточно умножить это равенство на 2:

$S_{бок} = 2 \cdot (2ah) = 2 \cdot 10 = 20$ см²

Ответ: $20$ см²