Номер 181, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

181. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник, а высота пирамиды $SO$ опускается в центр основания $O$. По условию задачи, высота $SO = 6$ см.

Угол, который боковая грань образует с плоскостью основания, является двугранным углом при ребре основания. Рассмотрим боковую грань $SBC$ и ребро основания $BC$. Для измерения этого угла построим его линейный угол.

Проведем апофему $SM$ в грани $SBC$, где $M$ — середина ребра $BC$. Поскольку пирамида правильная, грань $SBC$ — равнобедренный треугольник, и его медиана $SM$ является также высотой, т.е. $SM \perp BC$.

В плоскости основания $ABC$ соединим центр $O$ с точкой $M$. Отрезок $OM$ является радиусом окружности, вписанной в треугольник $ABC$, и перпендикулярен стороне $BC$ ($OM \perp BC$).

Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью боковой грани $SBC$ и плоскостью основания $ABC$. По условию, $\angle SMO = 45°$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он прямоугольный, так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и отрезку $OM$. Следовательно, $\angle SOM = 90°$.

В прямоугольном треугольнике $SOM$ мы знаем катет $SO = 6$ см и острый угол $\angle SMO = 45°$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$, то второй острый угол $\angle OSM = 90° - 45° = 45°$. Это означает, что треугольник $SOM$ является равнобедренным, и его катеты равны: $OM = SO = 6$ см.

Отрезок $OM$ — это радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник $ABC$. Радиус вписанной окружности связан со стороной основания $a$ по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ или, что то же самое, $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Подставим известное значение $r = OM = 6$ см в формулу и найдем сторону основания $a$: $6 = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Выразим отсюда $a$: $a\sqrt{3} = 6 \cdot 6 = 36$ $a = \frac{36}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $a = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.