Номер 188, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади ее основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Сторона основания по условию равна $a = 6$ см. Найдем площадь основания:$S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ можно найти по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ - периметр основания, а $l$ - апофема (высота боковой грани).Периметр основания (квадрата) равен:$P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Апофему $l$ найдем, используя угол между боковой гранью и плоскостью основания. Этот угол равен углу между апофемой и ее проекцией на плоскость основания. Проекцией апофемы является отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны основания. Длина этого отрезка равна половине стороны основания: $\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и ее проекцией на основание. В этом треугольнике апофема является гипотенузой, проекция апофемы - катетом, прилежащим к углу $45^\circ$.Из определения косинуса:$\cos(45^\circ) = \frac{a/2}{l}$Выразим апофему $l$:$l = \frac{a/2}{\cos(45^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 3\sqrt{2} = 12 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$ см$^2$.

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды, сложив площади основания и боковой поверхности:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 36\sqrt{2}$ см$^2$.Результат можно записать, вынеся общий множитель за скобки:$S_{полн} = 36(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $36(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.