Страница 29 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

187. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 8 см, а высота — 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$,

где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема пирамиды.

По условию, апофема $l = 8$ см, а высота пирамиды $h = 4$ см. Основанием является правильный шестиугольник. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам необходимо сначала найти периметр основания $P$. Для этого нужно определить длину стороны основания $a$.

Высота пирамиды $h$, ее апофема $l$ и апофема основания $r$ (радиус вписанной в основание окружности) образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза, а $h$ и $r$ — катеты. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + r^2$

Подставим известные значения и найдем $r$:

$8^2 = 4^2 + r^2$

$64 = 16 + r^2$

$r^2 = 64 - 16 = 48$

$r = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная апофему правильного шестиугольника $r = 4\sqrt{3}$ см, мы можем найти его сторону $a$. Формула, связывающая сторону правильного шестиугольника $a$ с радиусом вписанной в него окружности $r$, выглядит так:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим наше значение $r$ и найдем $a$:

$4\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$8\sqrt{3} = a\sqrt{3}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$a = 8$ см.

Теперь мы можем найти периметр основания, который является правильным шестиугольником со стороной $a = 8$ см:

$P = 6 \cdot a = 6 \cdot 8 = 48$ см.

Наконец, подставим значения $P$ и $l$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 8 = 24 \cdot 8 = 192$ см².

Ответ: $192$ см².

188. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади ее основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Сторона основания по условию равна $a = 6$ см. Найдем площадь основания:$S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ можно найти по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ - периметр основания, а $l$ - апофема (высота боковой грани).Периметр основания (квадрата) равен:$P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Апофему $l$ найдем, используя угол между боковой гранью и плоскостью основания. Этот угол равен углу между апофемой и ее проекцией на плоскость основания. Проекцией апофемы является отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны основания. Длина этого отрезка равна половине стороны основания: $\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и ее проекцией на основание. В этом треугольнике апофема является гипотенузой, проекция апофемы - катетом, прилежащим к углу $45^\circ$.Из определения косинуса:$\cos(45^\circ) = \frac{a/2}{l}$Выразим апофему $l$:$l = \frac{a/2}{\cos(45^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 3\sqrt{2} = 12 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$ см$^2$.

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды, сложив площади основания и боковой поверхности:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 36\sqrt{2}$ см$^2$.Результат можно записать, вынеся общий множитель за скобки:$S_{полн} = 36(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $36(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.

189. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 9 см, а высота – 6 см.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. Обозначим ее высоту как $H$, боковое ребро как $l$, сторону основания как $a$, и апофему (высоту боковой грани) как $h_a$. По условию, боковое ребро $l = 9$ см и высота $H = 6$ см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ – периметр основания. Для правильной треугольной пирамиды периметр основания $P = 3a$. Таким образом, формула для площади боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{3}{2} a \cdot h_a$. Для решения задачи нам необходимо найти длину стороны основания $a$ и длину апофемы $h_a$.

1. Нахождение стороны основания $a$

В правильной пирамиде высота ($H$) опускается из вершины в центр основания. Для правильного треугольника центром является точка пересечения медиан, которая делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Отрезок, соединяющий центр основания с вершиной треугольника, является радиусом описанной окружности ($R$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ и радиусом $R$ описанной около основания окружности. В этом треугольнике $H$ и $R$ являются катетами, а $l$ – гипотенузой.

По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.

Подставим известные значения, чтобы найти $R$:

$9^2 = 6^2 + R^2$

$81 = 36 + R^2$

$R^2 = 81 - 36 = 45$

$R = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ связан формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Выразим из нее сторону $a$:

$a = R \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{15}$ см.

2. Нахождение апофемы $h_a$

Апофема $h_a$ является высотой боковой грани. Ее можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и радиусом вписанной в основание окружности $r$. В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами, а $h_a$ – гипотенузой.

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r$ в два раза меньше радиуса описанной окружности $R$: $r = \frac{R}{2}$.

$r = \frac{3\sqrt{5}}{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем апофему $h_a$:

$h_a^2 = H^2 + r^2$

$h_a^2 = 6^2 + \left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2 = 36 + \frac{9 \cdot 5}{4} = 36 + \frac{45}{4}$

$h_a^2 = \frac{144}{4} + \frac{45}{4} = \frac{189}{4}$

$h_a = \sqrt{\frac{189}{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 21}}{2} = \frac{3\sqrt{21}}{2}$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности

Теперь, когда мы знаем сторону основания $a = 3\sqrt{15}$ см и апофему $h_a = \frac{3\sqrt{21}}{2}$ см, мы можем вычислить площадь боковой поверхности по формуле $S_{бок} = \frac{3}{2} a \cdot h_a$.

$S_{бок} = \frac{3}{2} \cdot 3\sqrt{15} \cdot \frac{3\sqrt{21}}{2} = \frac{27}{4} \sqrt{15 \cdot 21}$

Разложим подкоренное выражение на множители для упрощения: $15 \cdot 21 = (3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7) = 9 \cdot 35$.

$S_{бок} = \frac{27}{4} \sqrt{9 \cdot 35} = \frac{27}{4} \cdot 3\sqrt{35} = \frac{81\sqrt{35}}{4}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{81\sqrt{35}}{4}$ см$^2$.

190. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 8 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник $ABC$. Боковое ребро $SA = SB = SC = 8$ см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания $ABC$. Проекцией вершины $S$ на плоскость основания является центр треугольника $ABC$, точка $O$. Следовательно, проекцией ребра $SA$ является отрезок $OA$, а искомый угол — это $\angle SAO = 30^\circ$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). Катет $OA$ является радиусом $R$ окружности, описанной около основания $ABC$. Гипотенуза $SA$ — это боковое ребро, $SA = 8$ см.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдем радиус $R$:

$R = OA = SA \cdot \cos(\angle SAO) = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Зная радиус описанной окружности для равностороннего треугольника, найдем его сторону $a$. Формула, связывающая сторону равностороннего треугольника $a$ и радиус описанной окружности $R$, имеет вид $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Отсюда $a = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

3. Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей трех одинаковых боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками с боковыми сторонами по 8 см и основанием 12 см. Найдем площадь одной такой грани, например, $\triangle SAB$.

Проведем в треугольнике $SAB$ высоту (апофему пирамиды) $SK$ к основанию $AB$. Так как $\triangle SAB$ равнобедренный, $SK$ является также медианой, поэтому $AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SKA$. По теореме Пифагора найдем апофему $SK$:

$SK^2 = SA^2 - AK^2$

$SK^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$

$SK = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

4. Теперь найдем площадь треугольника $SAB$:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2\sqrt{7} = 12\sqrt{7}$ см$^2$.

5. Площадь боковой поверхности пирамиды равна утроенной площади одной грани:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle SAB} = 3 \cdot 12\sqrt{7} = 36\sqrt{7}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{7}$ см$^2$.

191. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 7 см, а радиус окружности, вписанной в основание, — 3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдём сторону и площадь основания.

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Радиус окружности, вписанной в квадрат, связан с его стороной $a$ соотношением $r = \frac{a}{2}$.

По условию, радиус вписанной окружности $r = 3$ см. Найдём сторону квадрата:

$a = 2r = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь найдём площадь основания (площадь квадрата):

$S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36$ см².

2. Найдём площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$

где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема пирамиды.

Периметр основания (квадрата) равен:

$P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Апофема пирамиды дана по условию: $l = 7$ см.

Подставим значения в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$ см².

3. Найдём площадь полной поверхности пирамиды.

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 84 = 120$ см².

Ответ: 120 см².

192. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а высота — 4 см. Найдите:

1) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

2) угол наклона боковой грани к плоскости основания;

3) площадь полной поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где S — вершина, а ABC — основание. Основание является равносторонним треугольником со стороной $a = 6$ см. Высота пирамиды $SO = H = 4$ см, где O — центр основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот).

1) угол наклона бокового ребра к плоскости основания

Угол наклона бокового ребра (например, SA) к плоскости основания ABC — это угол между самим ребром SA и его проекцией OA на эту плоскость. Таким образом, искомый угол — это $\angle SAO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ ( $\angle SOA = 90^\circ$ ). В нем катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO = 4$ см. Катет $OA$ — это радиус $R$ описанной около основания окружности.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставим значение $a=6$ см:

$OA = R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь в треугольнике $\triangle SAO$ мы знаем два катета, что позволяет найти тангенс угла $\angle SAO$ (обозначим его $\alpha$):

$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OA} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, угол наклона равен $\arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

2) угол наклона боковой грани к плоскости основания

Угол наклона боковой грани (например, SBC) к плоскости основания — это двугранный угол при ребре основания BC. Он измеряется линейным углом $\angle SMO$, где SM — апофема (высота боковой грани, проведенная к стороне BC), а OM — ее проекция на основание. OM является радиусом $r$ вписанной в основание окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SMO$ ( $\angle SOM = 90^\circ$ ). Катет $SO = H = 4$ см.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Подставим значение $a=6$ см:

$OM = r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Теперь в треугольнике $\triangle SMO$ мы знаем два катета, что позволяет найти тангенс угла $\angle SMO$ (обозначим его $\beta$):

$\tan(\beta) = \frac{SO}{OM} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, угол наклона равен $\arctan\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)$.

3) площадь полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Сначала найдем площадь основания. Основание — равносторонний треугольник со стороной $a = 6$ см. Его площадь вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$:

$S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Далее найдем площадь боковой поверхности. Она состоит из трех одинаковых равнобедренных треугольников. Площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle SBC} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM$, где $SM$ — апофема.

Найдем длину апофемы $SM$ из прямоугольного треугольника $\triangle SMO$ по теореме Пифагора:

$SM^2 = SO^2 + OM^2$

$SM^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3 = 19$

$SM = \sqrt{19}$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{19} = 9\sqrt{19}$ см².

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 9\sqrt{3} + 9\sqrt{19} = 9(\sqrt{3} + \sqrt{19})$ см².

Ответ: $9(\sqrt{3} + \sqrt{19})$ см².

193. Радиус окружности, описанной около боковой грани правильной треугольной пирамиды, равен $R$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит равносторонний треугольник, а боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим одну из боковых граней. Это равнобедренный треугольник. Обозначим его боковые стороны (которые являются боковыми ребрами пирамиды) как $b$, а основание (которое является стороной основания пирамиды) как $a$. Угол при вершине этого треугольника, противолежащий стороне $a$, по условию равен $\alpha$.

Вокруг этой боковой грани описана окружность радиуса $R$. Для любого треугольника верна обобщенная теорема синусов, которая связывает стороны треугольника, противолежащие им углы и радиус описанной окружности. Применительно к нашей боковой грани:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Отсюда мы можем выразить длину стороны основания пирамиды $a$:

$a = 2R \sin \alpha$

Углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой и вычисляются как $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Снова по теореме синусов найдем боковое ребро $b$:

$\frac{b}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = 2R$

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos x$, получаем:

$b = 2R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Площадь одной боковой грани ($S_{грань}$) можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{грань} = \frac{1}{2} b \cdot b \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} b^2 \sin \alpha$

Подставим в эту формулу найденное выражение для $b$:

$S_{грань} = \frac{1}{2} \left(2R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha = 2R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha$

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех таких одинаковых граней. Поэтому, чтобы найти площадь боковой поверхности ($S_{бок}$), нужно площадь одной грани умножить на 3:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{грань} = 3 \cdot 2R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha = 6R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha$

Полученное выражение можно упростить, используя тригонометрическую формулу понижения степени $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$:

$S_{бок} = 6R^2 \left(\frac{1 + \cos \alpha}{2}\right) \sin \alpha = 3R^2 (1 + \cos \alpha) \sin \alpha$

Ответ: $S_{бок} = 3R^2 (1 + \cos \alpha) \sin \alpha$.

194. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а расстояние от основания высоты пирамиды до бокового ребра равно $b$. Найдите рёбра пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Поскольку пирамида правильная, ее основанием является квадрат, а высота $SO$ проецируется в центр основания $O$ (точку пересечения диагоналей).

Обозначим сторону основания (ребро основания) как $a$, а боковое ребро как $L$.

Угол, который боковое ребро (например, $SC$) образует с плоскостью основания, — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $SC$ на плоскость основания $ABCD$ является отрезок $OC$. Таким образом, по условию задачи, угол $\angle SCO = \alpha$.

Треугольник $\triangle SOC$ является прямоугольным, так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $OC$.

Расстояние от основания высоты (точки $O$) до бокового ребра ($SC$) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $SC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $K$. Таким образом, $OK \perp SC$ и, по условию, $OK = b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKC$ (прямой угол при вершине $K$, так как $OK \perp SC$). В этом треугольнике нам известны катет $OK = b$ и противолежащий ему угол $\angle OCK = \alpha$. Гипотенузой является отрезок $OC$.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике $\triangle OKC$ имеем:

$\sin \alpha = \frac{OK}{OC} = \frac{b}{OC}$

Отсюда мы можем выразить длину отрезка $OC$:

$OC = \frac{b}{\sin \alpha}$

Теперь, зная длину $OC$, мы можем найти ребра пирамиды.

Ребро основания

Отрезок $OC$ — это половина диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $AC = a\sqrt{2}$. Следовательно,

$OC = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Приравняем два полученных выражения для $OC$:

$\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{b}{\sin \alpha}$

Выразим отсюда длину ребра основания $a$:

$a = \frac{2b}{\sqrt{2}\sin \alpha} = \frac{\sqrt{2}b}{\sin \alpha}$

Боковое ребро

Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle SOC$. В нем $SC = L$ — гипотенуза, $OC$ — катет, прилежащий к углу $\alpha$. Из определения косинуса:

$\cos \alpha = \frac{OC}{SC} = \frac{OC}{L}$

Выразим отсюда длину бокового ребра $L$:

$L = \frac{OC}{\cos \alpha}$

Подставим ранее найденное выражение для $OC = \frac{b}{\sin \alpha}$:

$L = \frac{\frac{b}{\sin \alpha}}{\cos \alpha} = \frac{b}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Это выражение можно упростить, используя формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$:

$L = \frac{2b}{2\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2b}{\sin(2\alpha)}$

Ответ: ребро основания пирамиды равно $\frac{\sqrt{2}b}{\sin \alpha}$, а боковое ребро равно $\frac{b}{\sin \alpha \cos \alpha}$ (или $\frac{2b}{\sin(2\alpha)}$).

195. Плоский угол при вершине правильной четырёх-угольной пирамиды равен $\alpha$. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида `SABCD` с вершиной `S` и основанием `ABCD`. По условию, плоский угол при вершине равен `\alpha`, то есть угол при вершине `S` в каждой боковой грани равен `\alpha`. Например, `\angle CSD = \alpha`.

Нам необходимо найти двугранный угол при ребре основания, например, при ребре `CD`. Этот угол образован плоскостью боковой грани `(SCD)` и плоскостью основания `(ABCD)`.

Для измерения этого двугранного угла построим его линейный угол.1. Проведём апофему `SM` в грани `SCD` (где `M` – середина ребра `CD`). Так как треугольник `SCD` равнобедренный (`SC=SD`), апофема `SM` является также его высотой, то есть `SM \perp CD`.2. Пусть `O` – центр квадрата `ABCD`. Соединим `O` и `M`. В квадрате `ABCD` отрезок `OM` соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому `OM` перпендикулярен этой стороне: `OM \perp CD`.

Поскольку `SM \perp CD` и `OM \perp CD`, угол `\angle SMO` является линейным углом искомого двугранного угла. Обозначим этот угол через `\beta`.

Рассмотрим треугольник `SOM`. Так как `SO` – высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе `OM`. Следовательно, треугольник `SOM` – прямоугольный с прямым углом `\angle SOM`.

Из прямоугольного треугольника `SOM` имеем:`\cos\beta = \cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM}`

Теперь выразим длины отрезков `OM` и `SM` через параметры пирамиды. Пусть длина бокового ребра `SD` равна `b`.

В равнобедренном треугольнике `SCD`, апофема `SM` является также биссектрисой угла `\angle CSD`. Поэтому `\angle DSM = \frac{\alpha}{2}`.Из прямоугольного треугольника `SMD` находим:`MD = SD \cdot \sin(\angle DSM) = b \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})``SM = SD \cdot \cos(\angle DSM) = b \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})`

Сторона основания `a = CD = 2 \cdot MD = 2b \sin(\frac{\alpha}{2})`.Отрезок `OM` равен половине стороны квадрата `AD` (которая равна `CD`).`OM = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 2b \sin(\frac{\alpha}{2}) = b \sin(\frac{\alpha}{2})`.

Подставим полученные выражения для `OM` и `SM` в формулу для косинуса `\beta`:`\cos\beta = \frac{OM}{SM} = \frac{b \sin(\frac{\alpha}{2})}{b \cos(\frac{\alpha}{2})} = \tan(\frac{\alpha}{2})`

Таким образом, искомый двугранный угол `\beta` равен `\arccos(\tan(\frac{\alpha}{2}))`.

Ответ: `\arccos(\tan(\frac{\alpha}{2}))`

196. Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при боковом ребре равен $\alpha$. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Решение:

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Для ребра $SB$ его проекцией на плоскость основания является отрезок $OB$. Следовательно, искомый угол — это $\beta = \angle SBO$.

Двугранный угол при боковом ребре, например $SB$, равен $\alpha$. Это угол между плоскостями боковых граней $(SAB)$ и $(SBC)$.

1. Для измерения этого угла построим его линейный угол. Поскольку пирамида правильная, её боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Проведём в треугольниках $SAB$ и $SBC$ высоты из вершин $A$ и $C$ к общему ребру $SB$. Пусть они пересекают $SB$ в точке $H$. Таким образом, $AH \perp SB$ и $CH \perp SB$. По определению, угол $\angle AHC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $SB$, следовательно, $\angle AHC = \alpha$.

2. Рассмотрим треугольник $AHC$. Так как боковые грани равны, то и высоты, проведённые к соответственным сторонам, равны: $AH = CH$. Значит, треугольник $AHC$ — равнобедренный. $O$ — середина основания $AC$ этого треугольника. Следовательно, медиана $HO$ является также высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что $HO \perp AC$ и $\angle AHO = \angle CHO = \frac{\alpha}{2}$.

3. В плоскости основания диагонали квадрата перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Так как $HO$ лежит в плоскости треугольника $AHC$, а $HO \perp AC$, и $BD \perp AC$, то точки $B, O, H, D$ могут не лежать на одной прямой. Однако, рассмотрим плоскость $(SBD)$. Так как $AC \perp BD$ и $AC \perp SO$ (высота), то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $(SBD)$.

4. Прямая $AH$ является наклонной к плоскости $(SBD)$, а отрезок $OH$ — её проекцией на эту плоскость (поскольку $AO \perp (SBD)$). По построению, наклонная $AH$ перпендикулярна прямой $SB$, лежащей в плоскости $(SBD)$. По обратной теореме о трёх перпендикулярах, проекция $OH$ также перпендикулярна прямой $SB$. Таким образом, $OH \perp SB$.

5. Теперь у нас есть два ключевых треугольника:

• Прямоугольный треугольник $AOH$ (так как $HO$ - высота в $\triangle AHC$, но более строго, $AC \perp$ пл. $(SBD)$, значит $AC \perp HO$). В нём $\angle AOH = 90^\circ$. Мы можем выразить его стороны через угол $\frac{\alpha}{2}$: $\tan(\angle AHO) = \frac{AO}{OH} \implies \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{AO}{OH}$.
• Прямоугольный треугольник $SBO$ (так как $SO$ - высота пирамиды). В нём $OH$ — высота, проведённая из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $SB$. Искомый угол $\beta = \angle SBO$. В прямоугольном треугольнике $OHB$ ($\angle OHB = 90^\circ$) имеем: $\sin(\angle OBH) = \frac{OH}{OB} \implies \sin(\beta) = \frac{OH}{OB}$.

6. Из первого соотношения выразим $OH$: $OH = \frac{AO}{\tan(\frac{\alpha}{2})}$. Подставим это во второе соотношение:

$\sin(\beta) = \frac{AO / \tan(\frac{\alpha}{2})}{OB}$

Поскольку $ABCD$ — квадрат, его полудиагонали равны: $AO = OB$. Сократив их, получаем:

$\sin(\beta) = \frac{1}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = \cot(\frac{\alpha}{2})$

Отсюда находим искомый угол $\beta$:

$\beta = \arcsin(\cot(\frac{\alpha}{2}))$

Ответ: $\arcsin(\cot(\frac{\alpha}{2}))$