Страница 23 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Концы отрезка, длина которого равна 13 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 8 см и 5 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из концов данного отрезка к линии пересечения плоскостей.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — две данные перпендикулярные плоскости, а $l$ — линия их пересечения. Обозначим данный отрезок как $AB$, где точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, а точка $B$ — плоскости $\beta$. По условию, длина отрезка $AB = 13$ см.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Пусть $A'$ — основание перпендикуляра, проведенного из точки $A$ к линии $l$. Тогда $A' \in l$, $AA' \perp l$, и отрезок $AA'$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $A$ до линии $l$, то есть $AA' = 8$ см.

Аналогично, пусть $B'$ — основание перпендикуляра, проведенного из точки $B$ к линии $l$. Тогда $B' \in l$, $BB' \perp l$, и отрезок $BB'$ целиком лежит в плоскости $\beta$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $B$ до линии $l$, то есть $BB' = 5$ см.

Искомое расстояние — это длина отрезка $A'B'$.

Рассмотрим пространственную фигуру. Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$, а прямая $AA'$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна линии их пересечения $l$, то по свойству перпендикулярных плоскостей прямая $AA'$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$.

Поскольку прямая $AA'$ перпендикулярна плоскости $\beta$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через ее точку пересечения с плоскостью (точку $A'$). Прямая $A'B$ лежит в плоскости $\beta$ (так как обе точки, $A'$ и $B$, принадлежат плоскости $\beta$). Следовательно, $AA' \perp A'B$. Это означает, что треугольник $\triangle AA'B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A'$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle AA'B$ имеем:

$AB^2 = AA'^2 + A'B^2$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle A'B'B$. Он полностью лежит в плоскости $\beta$. По построению, $BB'$ — перпендикуляр к прямой $l$, на которой лежит отрезок $A'B'$. Таким образом, угол $\angle A'B'B$ является прямым, и треугольник $\triangle A'B'B$ также прямоугольный.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle A'B'B$ имеем:

$A'B^2 = A'B'^2 + BB'^2$

Теперь подставим выражение для $A'B^2$ из второго уравнения в первое:

$AB^2 = AA'^2 + (A'B'^2 + BB'^2)$

$AB^2 = AA'^2 + BB'^2 + A'B'^2$

Это соотношение является пространственным аналогом теоремы Пифагора для прямоугольного параллелепипеда, где $AB$ — диагональ, а $AA'$, $BB'$ и $A'B'$ — длины ребер, выходящих из одной вершины.

Подставим известные значения в полученную формулу:

$13^2 = 8^2 + 5^2 + A'B'^2$

$169 = 64 + 25 + A'B'^2$

$169 = 89 + A'B'^2$

$A'B'^2 = 169 - 89$

$A'B'^2 = 80$

$A'B' = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: $4\sqrt{5}$ см.

137. Точки $A$ и $B$ лежат в перпендикулярных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из точек $A$ и $B$ проведены перпендикуляры $AA_1$ и $BB_1$ к линии пересечения плоскостей. Найдите углы, которые образует отрезок $AB$ с плоскостями $\alpha$ и $\beta$, если $AA_1 = 2\sqrt{3}$ см, $BB_1 = 2\sqrt{6}$ см, $A_1B_1 = 6$ см.

Пусть $l$ — линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. По условию, точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$. $AA_1$ и $BB_1$ — перпендикуляры, проведенные из точек $A$ и $B$ к линии пересечения $l$, значит, точки $A_1$ и $B_1$ лежат на прямой $l$.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, а прямая $BB_1$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярна линии их пересечения $l$, то $BB_1$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$. Аналогично, прямая $AA_1$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна линии $l$, следовательно, $AA_1$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$.

Для нахождения искомых углов нам понадобится длина отрезка $AB$.

Рассмотрим $\triangle A_1B_1B$. Так как $BB_1 \perp l$ и $A_1B_1 \subset l$, то $\angle BB_1A_1 = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы $A_1B$:
$A_1B^2 = A_1B_1^2 + BB_1^2 = 6^2 + (2\sqrt{6})^2 = 36 + 4 \cdot 6 = 36 + 24 = 60$.

Рассмотрим $\triangle AA_1B$. Так как $AA_1 \perp \beta$ и $A_1B \subset \beta$, то $AA_1 \perp A_1B$, следовательно $\angle AA_1B = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB$:
$AB^2 = AA_1^2 + A_1B^2 = (2\sqrt{3})^2 + 60 = 4 \cdot 3 + 60 = 12 + 60 = 72$.
$AB = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Угол, который образует отрезок AB с плоскостью α

Угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ — это угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость. Так как $BB_1 \perp \alpha$, то $AB_1$ является проекцией $AB$ на плоскость $\alpha$. Искомый угол — это $\angle BAB_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABB_1$ (угол $\angle AB_1B = 90^\circ$, так как $BB_1 \perp \alpha$, а $AB_1 \subset \alpha$). Найдем синус искомого угла:

$\sin(\angle BAB_1) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, угол между отрезком $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Угол, который образует отрезок AB с плоскостью β

Угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\beta$ — это угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость. Так как $AA_1 \perp \beta$, то $A_1B$ является проекцией $AB$ на плоскость $\beta$. Искомый угол — это $\angle ABA_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA_1B$ (угол $\angle AA_1B = 90^\circ$, как было показано ранее). Найдем синус искомого угла:

$\sin(\angle ABA_1) = \frac{AA_1}{AB} = \frac{2\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.

Следовательно, угол между отрезком $AB$ и плоскостью $\beta$ равен $\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)$

138. Прямоугольник $ABCD$ перегнули по диагонали $AC$ так, что плоскости $ABC$ и $ACD$ оказались перпендикулярными. Найдите расстояние между точками $B$ и $D$ в новом положении, если стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Рис. 32

Решение:
Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = CD = 6$ см и $BC = AD = 8$ см.
Прямоугольник был перегнут по диагонали $AC$. Найдем длину этой диагонали по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ (или $ADC$):
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.
После перегиба плоскости, содержащие треугольники $ABC$ и $ACD$, стали взаимно перпендикулярны. Для нахождения расстояния между точками $B$ и $D$ в новом положении удобнее всего воспользоваться методом координат.

1. Введем трехмерную декартову систему координат. Поместим точку $A$ в начало координат, $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль диагонали $AC$. Так как длина $AC = 10$, точка $C$ будет иметь координаты $C(10,0,0)$.

2. По условию, плоскости $(ABC)$ и $(ACD)$ перпендикулярны. Линией их пересечения является общая диагональ $AC$, которую мы расположили на оси $Ox$. Мы можем разместить эти плоскости в координатных плоскостях. Пусть плоскость $(ACD)$ совпадает с плоскостью $Oxy$ (координатная плоскость, где $z=0$), а плоскость $(ABC)$ совпадает с плоскостью $Oxz$ (координатная плоскость, где $y=0$). Это удовлетворяет условию их перпендикулярности.

3. Найдем координаты точки $D$. Точка $D$ лежит в плоскости $Oxy$, поэтому ее координаты $D(x_D, y_D, 0)$. Мы знаем длины отрезков $AD=8$ и $CD=6$. Используя формулу расстояния между точками, составим систему уравнений:
$AD^2 = (x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2 = x_D^2 + y_D^2 = 8^2 = 64$
$CD^2 = (x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 = (x_D - 10)^2 + y_D^2 = 6^2 = 36$
Раскроем скобки во втором уравнении: $x_D^2 - 20x_D + 100 + y_D^2 = 36$.
Подставим $x_D^2 + y_D^2 = 64$ в это уравнение: $64 - 20x_D + 100 = 36$.
$164 - 20x_D = 36 \implies 20x_D = 128 \implies x_D = 6.4$.
Теперь найдем $y_D$: $y_D^2 = 64 - x_D^2 = 64 - (6.4)^2 = 64 - 40.96 = 23.04$. Отсюда $y_D = \sqrt{23.04} = 4.8$.
Итак, координаты точки $D(6.4, 4.8, 0)$.

4. Найдем координаты точки $B$. Точка $B$ лежит в плоскости $Oxz$, поэтому ее координаты $B(x_B, 0, z_B)$. Мы знаем длины отрезков $AB=6$ и $CB=8$. Составим аналогичную систему:
$AB^2 = x_B^2 + z_B^2 = 6^2 = 36$
$CB^2 = (x_B - 10)^2 + z_B^2 = 8^2 = 64$
Решая эту систему (аналогично предыдущему пункту), получаем: $36 - 20x_B + 100 = 64 \implies 20x_B = 72 \implies x_B = 3.6$.
Теперь найдем $z_B$: $z_B^2 = 36 - x_B^2 = 36 - (3.6)^2 = 36 - 12.96 = 23.04$. Отсюда $z_B = \sqrt{23.04} = 4.8$.
Итак, координаты точки $B(3.6, 0, 4.8)$.

5. Теперь, зная координаты точек $B$ и $D$, найдем искомое расстояние $BD$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:
$BD = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2 + (z_D - z_B)^2}$
$BD = \sqrt{(6.4 - 3.6)^2 + (4.8 - 0)^2 + (0 - 4.8)^2}$
$BD = \sqrt{2.8^2 + 4.8^2 + (-4.8)^2} = \sqrt{7.84 + 23.04 + 23.04} = \sqrt{53.92}$ см.

Ответ: $\sqrt{53.92}$ см.

139. Плоскости прямоугольников $ABCD$ и $ABEF$ перпендикулярны. Найдите расстояние между прямыми $DE$ и $AB$, если $AF = 8$ см, $BC = 15$ см (рис. 32).

Поскольку ABCD и ABEF — прямоугольники, их общая сторона AB перпендикулярна сторонам AD и AF. Так как плоскости прямоугольников (ABCD) и (ABEF) перпендикулярны, а прямая AD лежит в плоскости (ABCD) и перпендикулярна линии их пересечения AB, то прямая AD перпендикулярна всей плоскости (ABEF). Отсюда следует, что AD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой AF. Таким образом, треугольник ADF является прямоугольным с прямым углом при вершине A.

Прямые DE и AB являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдем это расстояние методом проекций.

Спроецируем прямую DE на плоскость, перпендикулярную прямой AB. Так как $AD \perp AB$ и $AF \perp AB$, то плоскость (ADF) перпендикулярна прямой AB. Прямая AB пересекает эту плоскость в точке A.

Найдем проекцию прямой DE на плоскость (ADF).
1. Точка D принадлежит плоскости (ADF), следовательно, ее проекцией является сама точка D.
2. Так как ABEF — прямоугольник, то $FE \parallel AB$. Поскольку $AB \perp (ADF)$, то и параллельная ей прямая $FE \perp (ADF)$. Это означает, что F является ортогональной проекцией точки E на плоскость (ADF).

Таким образом, проекцией прямой DE на плоскость (ADF) является прямая DF. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми DE и AB равно расстоянию от точки A до прямой DF в плоскости (ADF). Это расстояние равно длине высоты AH, проведенной из вершины прямого угла A к гипотенузе DF в прямоугольном треугольнике ADF.

Найдем длины сторон треугольника ADF:
Из прямоугольника ABCD имеем $AD = BC = 15$ см.
Из условия известно, что $AF = 8$ см.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ADF найдем гипотенузу DF:
$DF = \sqrt{AD^2 + AF^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ см.

Высота AH, проведенная к гипотенузе, вычисляется по формуле: $AH = \frac{AD \cdot AF}{DF}$.
Подставим известные значения:
$AH = \frac{15 \cdot 8}{17} = \frac{120}{17}$ см.

Ответ: $\frac{120}{17}$ см.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

140. Найдите площадь ортогональной проекции многоугольника на некоторую плоскость, если площадь многоугольника равна 8 $см^2$, а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен $30^{\circ}$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника. Согласно этой теореме, площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади этого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Формула выглядит следующим образом:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где:

• $S_{пр}$ — площадь ортогональной проекции многоугольника,
• $S$ — площадь исходного многоугольника,
• $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

По условию задачи нам дано:

• Площадь многоугольника $S = 8 \text{ см}^2$.
• Угол между плоскостями $\alpha = 30^\circ$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{пр} = 8 \cdot \cos(30^\circ)$

Значение косинуса $30^\circ$ является известной величиной:

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь выполним вычисление:

$S_{пр} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$

Таким образом, площадь ортогональной проекции многоугольника составляет $4\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $4\sqrt{3} \text{ см}^2$.

141. Площадь многоугольника равна $8$ см$^2$, а площадь его ортогональной проекции — $4$ см$^2$. Найдите угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Для решения этой задачи используется теорема о площади ортогональной проекции плоской фигуры. Согласно этой теореме, площадь ортогональной проекции ($S_{пр}$) плоской фигуры на плоскость равна произведению площади самой фигуры ($S$) на косинус угла ($\alpha$) между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Формула выглядит следующим образом:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

Из условия задачи нам известны следующие величины:

Площадь многоугольника $S = 8 \text{ см}^2$.
Площадь его ортогональной проекции $S_{пр} = 4 \text{ см}^2$.

Нам необходимо найти угол $\alpha$. Выразим $\cos(\alpha)$ из формулы:

$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S}$

Теперь подставим известные значения в полученное выражение:

$\cos(\alpha) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Угол между плоскостями находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Найдем угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Следовательно, угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$