Страница 18 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Теорема о трёх перпендикулярах

98. На рисунке 28 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что прямая $AO$ перпендикулярна прямой $D_1C$.

Рис. 28

Для доказательства перпендикулярности прямых $AO$ и $D_1C$ воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах.

1. Рассмотрим плоскость грани $(DCC_1D_1)$. Прямая $D_1C$ полностью лежит в этой плоскости. Точка $O$ также принадлежит этой плоскости, так как является точкой пересечения диагоналей грани $DCC_1D_1$.

2. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является кубом, его рёбра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны. В частности, ребро $AD$ перпендикулярно рёбрам $DC$ и $DD_1$. Прямые $DC$ и $DD_1$ пересекаются и лежат в плоскости $(DCC_1D_1)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ребро $AD$ перпендикулярно всей плоскости грани $(DCC_1D_1)$.

3. Таким образом, у нас есть:
- перпендикуляр $AD$ к плоскости $(DCC_1D_1)$;
- наклонная $AO$ к этой же плоскости;
- проекция наклонной $AO$ на плоскость $(DCC_1D_1)$, которой является отрезок $DO$.

4. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, наклонная $AO$ будет перпендикулярна прямой $D_1C$ (лежащей в плоскости), если её проекция $DO$ перпендикулярна этой прямой $D_1C$.

5. Проверим перпендикулярность $DO$ и $D_1C$. Грань $DCC_1D_1$ куба является квадратом. Точка $O$ — это точка пересечения диагоналей $DC_1$ и $D_1C$ этого квадрата. Известно, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, $DC_1 \perp D_1C$. Поскольку точка $O$ лежит на диагонали $DC_1$, то прямая $DO$ совпадает с прямой $DC_1$. Значит, $DO \perp D_1C$.

6. Так как проекция ($DO$) перпендикулярна прямой в плоскости ($D_1C$), то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная ($AO$) перпендикулярна этой прямой ($D_1C$).

Следовательно, $AO \perp D_1C$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $AO$ перпендикулярна прямой $D_1C$.

99. Из точки $F$, не принадлежащей плоскости равностороннего треугольника $ABC$, опущен перпендикуляр $FM$ на плоскость $ABC$ (рис. 29). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки $F$ на прямую $AB$.

Рис. 29

Для построения перпендикуляра из точки $F$ на прямую $AB$ необходимо воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярах.

Построение

1. В плоскости треугольника $ABC$ из точки $M$ (основания перпендикуляра $FM$) опустим перпендикуляр на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$. Таким образом, мы строим отрезок $MH$ так, что $MH \perp AB$.
2. Соединим точки $F$ и $H$ отрезком.

Отрезок $FH$ является искомым перпендикуляром.

Обоснование

Докажем, что построенный отрезок $FH$ перпендикулярен прямой $AB$.

• По условию, $FM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.
• Отрезок $FH$ — это наклонная, проведённая из точки $F$ к плоскости $(ABC)$.
• Отрезок $MH$ является проекцией наклонной $FH$ на плоскость $(ABC)$.
• По построению, прямая $AB$, которая лежит в плоскости $(ABC)$, перпендикулярна проекции $MH$.
• Согласно теореме о трёх перпендикулярах: если прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
• Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна наклонной $FH$. Это означает, что $FH \perp AB$.

Таким образом, отрезок $FH$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $F$ на прямую $AB$. Условие о том, что треугольник $ABC$ является равносторонним, не влияет на сам алгоритм построения, но оно бы определило конкретное положение точки $H$ на прямой $AB$ при известном положении точки $M$.

Ответ: Для построения перпендикуляра из точки $F$ на прямую $AB$ необходимо в плоскости $ABC$ из точки $M$ опустить перпендикуляр $MH$ на прямую $AB$, после чего соединить точки $F$ и $H$. Отрезок $FH$ и будет искомым перпендикуляром.

100. Через вершину прямого угла C треугольника ABC к его плоскости проведён перпендикуляр CM длиной $4\sqrt{7}$ см. Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если $AC = BC = 8$ см.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты треугольника равны: $AC = BC = 8$ см. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным. Через вершину $C$ к плоскости треугольника проведен перпендикуляр $CM$ длиной $4\sqrt{7}$ см. Необходимо найти расстояние от точки $M$ до прямой $AB$.

Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MH$ к прямой $AB$. Длина отрезка $MH$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим связь между отрезками $CM$, $MH$ и $CH$. Так как $CM \perp (ABC)$ (по условию), то $CM$ — перпендикуляр к плоскости. $MH$ — наклонная, проведенная из точки $M$ к прямой $AB$ в плоскости $(ABC)$. $CH$ — проекция наклонной $MH$ на плоскость $(ABC)$.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MH$) перпендикулярна прямой ($AB$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($CH$) на эту плоскость также перпендикулярна этой прямой ($AB$). Таким образом, из $MH \perp AB$ следует, что $CH \perp AB$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $CH$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$.

Сначала найдем длину гипотенузы $AB$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$

$AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $CH$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно:

$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $MCH$. Поскольку $CM$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $CH$. Значит, $\angle MCH = 90^\circ$, и треугольник $MCH$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $MCH$ нам известны длины катетов: $CM = 4\sqrt{7}$ см (по условию) и $CH = 4\sqrt{2}$ см (как мы нашли ранее). Искомое расстояние $MH$ является гипотенузой этого треугольника. Найдем ее по теореме Пифагора:

$MH^2 = CM^2 + CH^2$

$MH^2 = (4\sqrt{7})^2 + (4\sqrt{2})^2 = (16 \cdot 7) + (16 \cdot 2) = 112 + 32 = 144$

$MH = \sqrt{144} = 12$ см.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно 12 см.

Ответ: 12 см.

101. Через центр $O$ окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 6 см, к плоскости треугольника проведён перпендикуляр $OM$ длиной 3 см. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон треугольника.

Пусть дан правильный треугольник со стороной $a = 6$ см. Точка $O$ — центр вписанной окружности, который для правильного треугольника совпадает с центром описанной окружности, точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. К плоскости треугольника через точку $O$ проведен перпендикуляр $OM$ длиной $3$ см.

Требуется найти расстояние от точки $M$ до сторон треугольника. Так как треугольник правильный, а точка $O$ — его центр, то расстояния от точки $M$ до всех сторон будут одинаковы. Найдем расстояние от точки $M$ до одной из сторон, например, до стороны $AC$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MH$ к стороне $AC$. Длина отрезка $MH$ — искомое расстояние.

Проведем в плоскости треугольника отрезок $OH$. Так как $OM$ — перпендикуляр к плоскости треугольника, $MH$ — наклонная, а $OH$ — ее проекция на эту плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $MH$ перпендикулярна прямой $AC$, то и ее проекция $OH$ перпендикулярна $AC$.

Отрезок $OH$ является перпендикуляром, проведенным из центра вписанной окружности к стороне треугольника, следовательно, $OH$ — это радиус вписанной окружности ($r$).

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле: $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$.

Подставим в формулу значение стороны $a = 6$ см: $OH = r = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $OMH$. Он является прямоугольным, так как отрезок $OM$ перпендикулярен плоскости треугольника, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$, в том числе и отрезку $OH$. Таким образом, $\angle MOH = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $OMH$ катеты равны $OM = 3$ см и $OH = \sqrt{3}$ см. Найдем гипотенузу $MH$ по теореме Пифагора:
$MH^2 = OM^2 + OH^2$
$MH^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 = 9 + 3 = 12$
$MH = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

102. Через вершину прямого угла C треугольника ABC (рис. 30) проведён перпендикуляр DC к его плоскости длиной $n$. Найдите расстояние от точки D до прямой AB, если $AC = a$, $\angle B = \beta$.

Рис. 30

Расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$, тогда искомое расстояние — это длина отрезка $DH$.

По условию, $DC$ — перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$. Следовательно, $DC \perp (ABC)$. Отрезок $DH$ является наклонной к плоскости $(ABC)$, а отрезок $CH$ — её проекцией на эту плоскость.

Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AB$), то и её проекция ($CH$) также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $CH \perp AB$. Это означает, что $CH$ является высотой прямоугольного треугольника $ABC$, проведённой к гипотенузе $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). Нам даны катет $AC = a$ и угол $\angle B = \beta$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle A = 90^\circ - \beta$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ ($\angle CHA = 90^\circ$). В нём известна гипотенуза $AC = a$ и угол $\angle A = 90^\circ - \beta$. Найдём катет $CH$:
$CH = AC \cdot \sin(\angle A) = a \cdot \sin(90^\circ - \beta)$.
Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:
$CH = a \cos(\beta)$.

Так как $DC \perp (ABC)$, то $DC$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, а значит $DC \perp CH$. Следовательно, треугольник $DCH$ является прямоугольным с прямым углом $C$.

В прямоугольном треугольнике $DCH$ нам известны катеты $DC = n$ и $CH = a \cos(\beta)$. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $DH$:
$DH^2 = DC^2 + CH^2$
$DH^2 = n^2 + (a \cos(\beta))^2 = n^2 + a^2 \cos^2(\beta)$
$DH = \sqrt{n^2 + a^2 \cos^2(\beta)}$

Ответ: $\sqrt{n^2 + a^2 \cos^2(\beta)}$

103. Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ к его плоскости проведён перпендикуляр $OM$ длиной 4 см. Найдите расстояние от точки $M$ до прямых, содержащих стороны параллелограмма, если $AB = 12$ см, $BC = 20$ см, $\angle BAD = 30^\circ$.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм, $O$ — точка пересечения его диагоналей, а $OM$ — перпендикуляр к плоскости параллелограмма.

По условию задачи имеем: $OM = 4$ см, $AB = CD = 12$ см, $BC = AD = 20$ см, и $\angle BAD = 30^\circ$. Требуется найти расстояния от точки $M$ до прямых, содержащих стороны параллелограмма.

Расстояние от точки в пространстве до прямой в плоскости, к которой из этой точки проведен перпендикуляр, находится с помощью теоремы о трех перпендикулярах. Пусть $OH_1$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на прямую $AB$. Тогда $OH_1$ является проекцией наклонной $MH_1$ на плоскость $(ABCD)$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция $OH_1$ перпендикулярна прямой $AB$, то и наклонная $MH_1$ также перпендикулярна прямой $AB$. Следовательно, длина отрезка $MH_1$ и есть искомое расстояние от точки $M$ до прямой $AB$.

Так как $OM \perp (ABCD)$, то треугольник $\triangle MOH_1$ — прямоугольный. По теореме Пифагора, $MH_1^2 = OM^2 + OH_1^2$. Таким образом, для решения задачи нам нужно найти длины перпендикуляров, опущенных из точки $O$ на стороны параллелограмма.

Точка пересечения диагоналей $O$ является центром симметрии параллелограмма, поэтому расстояние от нее до любой стороны равно половине соответствующей высоты параллелограмма.

1. Найдем высоту параллелограмма, проведенную к стороне $AB$ (обозначим ее $h_{AB}$). Эта высота равна расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $CD$. Проведем из вершины $D$ перпендикуляр $DK$ к прямой $AB$. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $AD$, высотой $DK$ и отрезком на прямой $AB$, имеем:$h_{AB} = DK = AD \cdot \sin(\angle BAD) = 20 \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ см.Расстояние от точки $O$ до сторон $AB$ и $CD$ равно:$d(O, AB) = d(O, CD) = \frac{1}{2} h_{AB} = \frac{10}{2} = 5$ см.

2. Найдем высоту параллелограмма, проведенную к стороне $AD$ (обозначим ее $h_{AD}$). Эта высота равна расстоянию между параллельными прямыми $AD$ и $BC$. Проведем из вершины $B$ перпендикуляр $BE$ к прямой $AD$. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $AB$, высотой $BE$ и отрезком на прямой $AD$, имеем:$h_{AD} = BE = AB \cdot \sin(\angle BAD) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.Расстояние от точки $O$ до сторон $AD$ и $BC$ равно:$d(O, AD) = d(O, BC) = \frac{1}{2} h_{AD} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь можем вычислить искомые расстояния от точки $M$.

Расстояние от точки $M$ до прямых $AB$ и $CD$ равно:$d(M, AB) = d(M, CD) = \sqrt{OM^2 + (d(O, AB))^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$ см.

Расстояние от точки $M$ до прямых $BC$ и $AD$ равно:$d(M, BC) = d(M, AD) = \sqrt{OM^2 + (d(O, BC))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: расстояние от точки $M$ до прямых, содержащих стороны $AB$ и $CD$, равно $\sqrt{41}$ см; расстояние до прямых, содержащих стороны $BC$ и $AD$, равно $5$ см.

104. В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$. Через точку $O$ проведена прямая $DO$, перпендикулярная плоскости $ABC$. Точка $D$ удалена от этой плоскости на $\sqrt{13}$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до сторон треугольника, если $AB = BC = 20$ см, $AC = 24$ см.

По условию задачи, в треугольник $ABC$ вписана окружность с центром в точке $O$. Через точку $O$ проведена прямая $DO$, перпендикулярная плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что отрезок $DO$ является перпендикуляром, опущенным из точки $D$ на плоскость $ABC$. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние от точки $D$ до плоскости, то есть $DO = \sqrt{13}$ см.

Расстояние от точки $D$ до стороны треугольника (например, стороны $AC$) — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $D$ к прямой $AC$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $K$, тогда искомое расстояние — это длина отрезка $DK$.

Рассмотрим отрезки $DO$ (перпендикуляр к плоскости), $DK$ (наклонная) и $OK$ (проекция наклонной на плоскость $ABC$). Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $AC$ в плоскости, то и ее проекция $OK$ также перпендикулярна этой прямой $AC$.

С другой стороны, $O$ — центр вписанной окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до любой стороны треугольника равно радиусу этой окружности ($r$). Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, отрезок $OK$ — это радиус вписанной окружности, проведенный к точке касания $K$ на стороне $AC$, и его длина равна $r$.

В итоге мы имеем прямоугольный треугольник $DOK$ (угол $\angle DOK = 90^\circ$), в котором катеты — это $DO$ (расстояние от $D$ до плоскости) и $OK$ (радиус вписанной окружности $r$), а гипотенуза $DK$ — искомое расстояние от точки $D$ до стороны $AC$. По теореме Пифагора: $DK = \sqrt{DO^2 + OK^2}$.

Поскольку центр вписанной окружности равноудален от всех сторон треугольника, расстояния от точки $D$ до всех трех сторон ($AB$, $BC$ и $AC$) будут одинаковыми. Найдем это расстояние, вычислив сначала радиус $r$.

1. Нахождение радиуса вписанной окружности

Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = 20$ см и $AC = 24$ см.Сначала найдем его полупериметр $p$:
$p = (20 + 20 + 24) / 2 = 64 / 2 = 32$ см.

Площадь треугольника $S$ найдем по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{32(32-20)(32-20)(32-24)} = \sqrt{32 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 8}$
$S = \sqrt{(4 \cdot 8) \cdot 144 \cdot 8} = \sqrt{4 \cdot 64 \cdot 144} = 2 \cdot 8 \cdot 12 = 192$ см².

Радиус вписанной окружности $r$ вычисляется по формуле $r = S/p$:
$r = 192 / 32 = 6$ см.

Таким образом, $OK = r = 6$ см.

2. Нахождение расстояния от точки D до сторон треугольника

Теперь мы можем найти искомое расстояние $DK$, используя теорему Пифагора для треугольника $DOK$:
$DK = \sqrt{DO^2 + OK^2}$
$DK = \sqrt{(\sqrt{13})^2 + 6^2} = \sqrt{13 + 36} = \sqrt{49} = 7$ см.

Расстояние от точки $D$ до каждой из сторон треугольника $ABC$ одинаково и равно 7 см.

Ответ: 7 см.