Страница 17 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

91. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Точки $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$, точки $B$ и $D$ — плоскости $\beta$, $AB = 13$ см, $CD = 20$ см. Найдите расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, если разность проекций отрезков $AB$ и $CD$ на плоскость $\alpha$ равна $11$ см.

Пусть $h$ — искомое расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим отрезок $AB$. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$. Пусть $B'$ — ортогональная проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $BB'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию между плоскостями: $BB' = h$. Отрезок $AB'$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$. Треугольник $ABB'$ — прямоугольный ($\angle AB'B = 90^\circ$).

По теореме Пифагора для треугольника $ABB'$:

$AB^2 = (AB')^2 + (BB')^2$

Обозначим длину проекции $AB'$ как $p_{AB}$. Подставим известные значения:

$13^2 = p_{AB}^2 + h^2$

$p_{AB}^2 = 169 - h^2$

$p_{AB} = \sqrt{169 - h^2}$

Аналогично рассмотрим отрезок $CD$. Точка $C$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $D$ — в плоскости $\beta$. Пусть $D'$ — ортогональная проекция точки $D$ на плоскость $\alpha$. Тогда $DD' = h$. Отрезок $CD'$ является проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\alpha$. Треугольник $CDD'$ — прямоугольный ($\angle CD'D = 90^\circ$).

По теореме Пифагора для треугольника $CDD'$:

$CD^2 = (CD')^2 + (DD')^2$

Обозначим длину проекции $CD'$ как $p_{CD}$. Подставим известные значения:

$20^2 = p_{CD}^2 + h^2$

$p_{CD}^2 = 400 - h^2$

$p_{CD} = \sqrt{400 - h^2}$

По условию, разность длин проекций равна 11 см. Поскольку $CD > AB$ (20 > 13), то и длина проекции $CD$ будет больше длины проекции $AB$ ($p_{CD} > p_{AB}$). Следовательно:

$p_{CD} - p_{AB} = 11$

Подставим выражения для $p_{CD}$ и $p_{AB}$ в это уравнение:

$\sqrt{400 - h^2} - \sqrt{169 - h^2} = 11$

Для решения этого иррационального уравнения уединим один из корней:

$\sqrt{400 - h^2} = 11 + \sqrt{169 - h^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{400 - h^2})^2 = (11 + \sqrt{169 - h^2})^2$

$400 - h^2 = 11^2 + 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{169 - h^2} + (\sqrt{169 - h^2})^2$

$400 - h^2 = 121 + 22\sqrt{169 - h^2} + 169 - h^2$

Упростим уравнение, сократив $-h^2$ в обеих частях и объединив константы:

$400 = 290 + 22\sqrt{169 - h^2}$

Выразим радикал:

$400 - 290 = 22\sqrt{169 - h^2}$

$110 = 22\sqrt{169 - h^2}$

Разделим обе части на 22:

$5 = \sqrt{169 - h^2}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$5^2 = (\sqrt{169 - h^2})^2$

$25 = 169 - h^2$

Отсюда найдем $h^2$:

$h^2 = 169 - 25$

$h^2 = 144$

Так как расстояние $h$ является положительной величиной, извлечем корень:

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

92. На рисунке 27 изображён куб с ребром $a$. Найдите расстояние между прямыми $MN$ и $PK$.

Рис. 27

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми MN и PK введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат (0, 0, 0) находится в левой задней нижней вершине куба. Направим ось Ox вдоль заднего ребра вправо, ось Oy – вдоль левого ребра вперед, и ось Oz – вверх.

Так как ребро куба равно $a$, то вершины куба будут иметь следующие координаты:

• Нижняя задняя левая: $(0, 0, 0)$
• Нижняя задняя правая: $(a, 0, 0)$
• Нижняя передняя левая: $(0, a, 0)$
• Нижняя передняя правая (точка P): $P(a, a, 0)$
• Верхняя задняя левая: $(0, 0, a)$
• Верхняя задняя правая (точка K): $K(a, 0, a)$
• Верхняя передняя левая: $(0, a, a)$
• Верхняя передняя правая: $(a, a, a)$

Теперь определим координаты точек M и N:

• Точка N является центром нижнего основания. Ее координаты равны полусумме координат вершин, соединенных диагональю, например, $(0, 0, 0)$ и $(a, a, 0)$. Таким образом, $N(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.
• Точка M является центром верхнего основания. Ее координаты равны полусумме координат вершин, соединенных диагональю, например, $(0, 0, a)$ и $(a, a, a)$. Таким образом, $M(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a)$.

Рассмотрим прямые MN и PK.

1. Прямая MN проходит через точки $N(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$ и $M(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a)$. Заметим, что координаты $x$ и $y$ для обеих точек одинаковы. Это значит, что прямая MN параллельна оси Oz. Ее можно задать системой уравнений $\begin{cases} x = \frac{a}{2} \\ y = \frac{a}{2} \end{cases}$.

2. Прямая PK проходит через точки $P(a, a, 0)$ и $K(a, 0, a)$. Заметим, что координата $x$ для обеих точек равна $a$. Это значит, что вся прямая PK лежит в плоскости $x=a$. Эта плоскость является правой гранью куба.

Поскольку прямая MN параллельна оси Oz, а плоскость $x=a$ (в которой лежит прямая PK) перпендикулярна оси Ox, то прямая MN параллельна плоскости, содержащей прямую PK.

Расстояние между скрещивающимися прямыми в таком случае равно расстоянию от одной из прямых (MN) до плоскости, в которой лежит другая прямая (PK).

Чтобы найти это расстояние, нужно взять любую точку на прямой MN, например, точку N, и найти расстояние от этой точки до плоскости $x=a$.

Расстояние от точки с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $x=a$, равно $|x_0 - a|$.

Для точки $N(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$ это расстояние будет равно:

$d = |\frac{a}{2} - a| = |-\frac{a}{2}| = \frac{a}{2}$

Ответ: $\frac{a}{2}$

93. Через вершину прямого угла C треугольника $ABC$ проведена прямая $m$, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние между прямыми $m$ и $AB$, если $AB = 13$ см, $AC = 5$ см.

По условию, в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ — прямой ($\angle C = 90^\circ$). Через вершину $C$ проведена прямая $m$, перпендикулярная плоскости треугольника $ABC$. Прямые $m$ и $AB$ являются скрещивающимися, поскольку прямая $m$ пересекает плоскость $(ABC)$ в точке $C$, а прямая $AB$ лежит в этой плоскости, но не проходит через точку $C$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Так как прямая $m$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Проведем в плоскости треугольника из точки $C$ высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. Тогда $CH \perp AB$. Поскольку $CH$ лежит в плоскости $(ABC)$, то и $m \perp CH$. Таким образом, $CH$ является общим перпендикуляром к прямым $m$ и $AB$, и его длина и есть искомое расстояние.

Найдем длину высоты $CH$. Для этого сначала вычислим длину катета $BC$ по теореме Пифагора:$AB^2 = AC^2 + BC^2$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$BC = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами: через катеты и через гипотенузу и высоту, проведенную к ней.$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$

Приравняв эти выражения, получим:$AC \cdot BC = AB \cdot CH$

Отсюда найдем $CH$:$CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}$ см.

Следовательно, расстояние между прямыми $m$ и $AB$ равно $\frac{60}{13}$ см.

Ответ: $\frac{60}{13}$ см.

94. Через вершину $B$ равнобедренного треугольника $ABC$ проведена прямая $a$, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $AC$, если $AB = AC = 10 \text{ см}, BC = 12 \text{ см}.

По условию задачи, прямая a проходит через вершину B и перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Прямая $AC$ лежит в этой плоскости. Прямые a и $AC$ являются скрещивающимися, так как одна из них перпендикулярна плоскости, а другая лежит в этой плоскости и не проходит через точку их пересечения (вершину B).

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Проведем в плоскости треугольника $ABC$ высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. По определению высоты, $BH \perp AC$.

Так как прямая a перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Высота $BH$ лежит в плоскости $(ABC)$, следовательно, $a \perp BH$.

Таким образом, отрезок $BH$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым a и $AC$. Значит, длина высоты $BH$ и есть искомое расстояние между этими прямыми.

Найдем длину высоты $BH$ треугольника $ABC$.

Дано, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с $AB = AC = 10$ см и основанием $BC = 12$ см.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Сначала найдем площадь треугольника, проведя высоту $AM$ из вершины $A$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой, поэтому $M$ — середина $BC$.

$MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Из прямоугольного треугольника $AMC$ по теореме Пифагора найдем высоту $AM$:
$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через основание $AC$ и высоту $BH$, проведенную к этому основанию:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.

Подставим известные значения и найдем $BH$:
$48 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot BH$
$48 = 5 \cdot BH$
$BH = \frac{48}{5} = 9,6$ см.

Ответ: 9,6 см.

95. Через точку $D$ окружности с центром $O$ и радиусом $8$ см проведена прямая $a$, перпендикулярная плоскости окружности. Через центр окружности в её плоскости проведена прямая $b$, образующая угол $60^\circ$ с прямой $OD$. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $b$.

Обозначим плоскость, в которой лежит окружность, как $\alpha$. По условию задачи дано:

• Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OD = 8$ см.
• Прямая $a$ проходит через точку $D$ на окружности и перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).
• Прямая $b$ проходит через центр $O$ и лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).
• Угол между прямой $b$ и прямой $OD$ равен $60^\circ$.

Требуется найти расстояние между прямыми $a$ и $b$.

Прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися, так как одна из них ($b$) лежит в плоскости $\alpha$, а другая ($a$) пересекает эту плоскость в точке $D$, не принадлежащей первой прямой ($D \notin b$, поскольку угол между $OD$ и $b$ не равен $0^\circ$ или $180^\circ$).

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Построим этот общий перпендикуляр. Из точки $D$ опустим перпендикуляр $DH$ на прямую $b$ в плоскости $\alpha$. Точка $H$ будет лежать на прямой $b$.

Рассмотрим отрезок $DH$:

1. $DH \perp b$ по построению.
2. Так как прямая $a \perp \alpha$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок $DH$ лежит в плоскости $\alpha$, следовательно, $a \perp DH$.

Таким образом, $DH$ является общим перпендикуляром к прямым $a$ и $b$, и его длина — искомое расстояние.

Найдем длину $DH$. Рассмотрим треугольник $\triangle ODH$, который лежит в плоскости $\alpha$. Этот треугольник является прямоугольным, так как $DH \perp b$ по построению, значит $\angle OHD = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $OD$ равна радиусу окружности, $OD = 8$ см;
• угол $\angle DOH$ — это угол между прямой $OD$ и прямой $b$, по условию $\angle DOH = 60^\circ$.

Катет $DH$ противоположен углу $\angle DOH$. Для его нахождения воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle DOH) = \frac{DH}{OD}$
Выразим $DH$:
$DH = OD \cdot \sin(\angle DOH)$
Подставим известные значения:
$DH = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

96. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 37$ см, $AC = 70$ см. Через сторону $AC$ треугольника проведена плоскость $\alpha$, расстояние до которой от точки $B$ равно 9 см. Найдите расстояние между прямой $AC$ и прямой, которая проходит через точку $B$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Пусть $BH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $\alpha$. По условию, расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно 9 см, следовательно, длина этого перпендикуляра $BH = 9$ см.

Прямая, которая проходит через точку $B$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$, — это прямая, содержащая отрезок $BH$. Нам нужно найти расстояние между прямой $AC$ (которая лежит в плоскости $\alpha$) и прямой $BH$. Эти прямые являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Проведем в равнобедренном треугольнике $ABC$ высоту $BM$ к основанию $AC$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), высота $BM$ также является медианой. Следовательно, точка $M$ — середина отрезка $AC$.

Найдем длину $AM$:
$AM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 70 = 35$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $AMB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину высоты $BM$:
$BM^2 = AB^2 - AM^2$
$BM^2 = 37^2 - 35^2 = (37 - 35)(37 + 35) = 2 \cdot 72 = 144$
$BM = \sqrt{144} = 12$ см.

Рассмотрим отрезки $BH$, $BM$ и $HM$. $BH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $BM$ — наклонная, проведенная из точки $B$ к плоскости $\alpha$, а $HM$ — проекция этой наклонной на плоскость $\alpha$.

Поскольку высота $BM$ перпендикулярна прямой $AC$ ($BM \perp AC$), то по теореме о трех перпендикулярах ее проекция $HM$ также перпендикулярна прямой $AC$ ($HM \perp AC$).

Так как $BH$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, то $BH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $HM$ ($BH \perp HM$).

Таким образом, отрезок $HM$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым $AC$ и $BH$, а значит, его длина является расстоянием между этими прямыми.

Найдем длину $HM$ из прямоугольного треугольника $BHM$ (угол $BHM = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$HM^2 = BM^2 - BH^2$
$HM^2 = 12^2 - 9^2 = 144 - 81 = 63$
$HM = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ см.

Ответ: $3\sqrt{7}$ см.

97. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми $DB_1$ и $AB$.

Прямые $DB_1$ и $AB$ являются скрещивающимися. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания $ABCD$, а прямая $DB_1$, являющаяся диагональю куба, пересекает эту плоскость в точке $D$, которая не лежит на прямой $AB$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Для его нахождения можно использовать метод проекций. Спроецируем одну из прямых на плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Ребро куба $AB$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$. Это следует из того, что ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AD$ (как стороны квадрата $ABCD$) и перпендикулярно ребру $AA_1$ (так как ребро $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости основания). Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AD$ и $AA_1$) в плоскости $(ADD_1A_1)$, она перпендикулярна и самой плоскости.

Найдем проекции прямых $AB$ и $DB_1$ на плоскость $(ADD_1A_1)$. Проекцией прямой $AB$ на перпендикулярную ей плоскость $(ADD_1A_1)$ является точка их пересечения, то есть точка $A$.

Проекция прямой $DB_1$ находится по проекциям ее концов, точек $D$ и $B_1$. Точка $D$ принадлежит плоскости $(ADD_1A_1)$, поэтому она проецируется в саму себя. Точка $B_1$ проецируется в точку $A_1$, так как ребро $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости $(ADD_1A_1)$. Таким образом, проекцией прямой $DB_1$ на плоскость $(ADD_1A_1)$ является прямая $DA_1$.

Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $DB_1$ равно расстоянию между их проекциями, то есть расстоянию от точки $A$ до прямой $DA_1$ в плоскости квадрата $ADD_1A_1$.

Это расстояние является высотой $h$, проведенной из вершины прямого угла $A$ к гипотенузе $DA_1$ в прямоугольном треугольнике $\Delta DAA_1$. Катеты этого треугольника равны ребру куба: $AD = 2$ см и $AA_1 = 2$ см.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $DA_1$:
$DA_1 = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь треугольника $\Delta DAA_1$ можно выразить двумя способами:
$S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ см$^2$.
$S = \frac{1}{2} \cdot DA_1 \cdot h$.

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:
$\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot h = 2$
$\sqrt{2} \cdot h = 2$
$h = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ см.

Следовательно, расстояние между прямыми $DB_1$ и $AB$ равно $\sqrt{2}$ см.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.