Номер 96, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Перпендикуляр и наклонная. Вариант 1. Упражнения - номер 96, страница 17.

Условие.

96. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 37$ см, $AC = 70$ см. Через сторону $AC$ треугольника проведена плоскость $\alpha$, расстояние до которой от точки $B$ равно 9 см. Найдите расстояние между прямой $AC$ и прямой, которая проходит через точку $B$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Решение.

Решение 2.

Пусть $BH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $\alpha$. По условию, расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно 9 см, следовательно, длина этого перпендикуляра $BH = 9$ см.

Прямая, которая проходит через точку $B$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$, — это прямая, содержащая отрезок $BH$. Нам нужно найти расстояние между прямой $AC$ (которая лежит в плоскости $\alpha$) и прямой $BH$. Эти прямые являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Проведем в равнобедренном треугольнике $ABC$ высоту $BM$ к основанию $AC$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), высота $BM$ также является медианой. Следовательно, точка $M$ — середина отрезка $AC$.

Найдем длину $AM$:
$AM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 70 = 35$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $AMB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину высоты $BM$:
$BM^2 = AB^2 - AM^2$
$BM^2 = 37^2 - 35^2 = (37 - 35)(37 + 35) = 2 \cdot 72 = 144$
$BM = \sqrt{144} = 12$ см.

Рассмотрим отрезки $BH$, $BM$ и $HM$. $BH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $BM$ — наклонная, проведенная из точки $B$ к плоскости $\alpha$, а $HM$ — проекция этой наклонной на плоскость $\alpha$.

Поскольку высота $BM$ перпендикулярна прямой $AC$ ($BM \perp AC$), то по теореме о трех перпендикулярах ее проекция $HM$ также перпендикулярна прямой $AC$ ($HM \perp AC$).

Так как $BH$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, то $BH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $HM$ ($BH \perp HM$).

Таким образом, отрезок $HM$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым $AC$ и $BH$, а значит, его длина является расстоянием между этими прямыми.

Найдем длину $HM$ из прямоугольного треугольника $BHM$ (угол $BHM = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$HM^2 = BM^2 - BH^2$
$HM^2 = 12^2 - 9^2 = 144 - 81 = 63$
$HM = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ см.

Ответ: $3\sqrt{7}$ см.