Номер 90, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $BD$. Расстояние между прямой $BD$ и плоскостью $\alpha$ равно 5 см, а проекции отрезков $AB$ и $AD$ на эту плоскость равны 8 см и 7 см соответственно. Найдите диагональ $AC$ параллелограмма, если диагональ $BD$ равна 9 см.

Найдем длины сторон параллелограмма AB и AD.

Пусть $B_1$ и $D_1$ — это проекции точек $B$ и $D$ на плоскость $\alpha$. Поскольку вершина $A$ лежит в плоскости $\alpha$, ее проекция совпадает с самой точкой $A$.

По условию, проекция отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ — это отрезок $AB_1$, и его длина равна $AB_1 = 8$ см. Аналогично, проекция отрезка $AD$ — это отрезок $AD_1$, и его длина равна $AD_1 = 7$ см.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Таким образом, отрезки $BB_1$ и $DD_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Треугольники $\triangle ABB_1$ и $\triangle ADD_1$ являются прямоугольными.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

$AB^2 = AB_1^2 + BB_1^2$

$AD^2 = AD_1^2 + DD_1^2$

Поскольку прямая $BD$ параллельна плоскости $\alpha$, все точки прямой $BD$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$. Следовательно, расстояния от точек $B$ и $D$ до плоскости $\alpha$ равны и равны заданному расстоянию между прямой и плоскостью, то есть $BB_1 = DD_1 = 5$ см.

Теперь можем найти квадраты длин сторон параллелограмма:

$AB^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89$ см²

$AD^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74$ см²

Найдем диагональ AC.

Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$

Нам известны $BD = 9$ см, а также мы нашли $AB^2 = 89$ и $AD^2 = 74$. Подставим эти значения в формулу:

$AC^2 + 9^2 = 2(89 + 74)$

$AC^2 + 81 = 2 \cdot 163$

$AC^2 + 81 = 326$

$AC^2 = 326 - 81$

$AC^2 = 245$

$AC = \sqrt{245} = \sqrt{49 \cdot 5} = 7\sqrt{5}$ см.

Ответ: $7\sqrt{5}$ см.