Номер 83, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AC$ и $AD$ и перпендикуляр $AB$. Найдите проекции наклонных на плоскость $\alpha$, если $AC = 8 \text{ см}$, $\angle CAB = 60^\circ$, $\angle DAB = 45^\circ$.

По условию задачи, AB — перпендикуляр, проведенный из точки A к плоскости α. AC и AD — наклонные. Следовательно, отрезки BC и BD являются проекциями наклонных AC и AD на плоскость α соответственно.

Поскольку AB перпендикулярен плоскости α, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку B. Таким образом, треугольники ABC и ABD являются прямоугольными с прямым углом при вершине B.

Нахождение проекции наклонной AC

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC ($ \angle B = 90^\circ $). В нем известны:

• гипотенуза $ AC = 8 $ см,
• угол между наклонной и перпендикуляром $ \angle CAB = 60^\circ $.

Проекция BC является катетом, противолежащим углу $ \angle CAB $. Длина катета, противолежащего углу, равна произведению гипотенузы на синус этого угла.

$ BC = AC \cdot \sin(\angle CAB) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} $ см.

Ответ: $ 4\sqrt{3} $ см.

Нахождение проекции наклонной AD

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD ($ \angle B = 90^\circ $). В нем известен угол между наклонной AD и перпендикуляром AB: $ \angle DAB = 45^\circ $.

Для нахождения проекции BD (катет) нам необходима длина второго катета AB, который является общим для обоих треугольников. Найдем длину перпендикуляра AB из треугольника ABC. AB — катет, прилежащий к углу $ \angle CAB $.

$ AB = AC \cdot \cos(\angle CAB) = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 $ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике ABD мы знаем катет $ AB = 4 $ см. Проекция BD является катетом, противолежащим углу $ \angle DAB $. Найдем его длину, используя тангенс угла, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$ \tan(\angle DAB) = \frac{BD}{AB} $

$ BD = AB \cdot \tan(\angle DAB) = 4 \cdot \tan(45^\circ) = 4 \cdot 1 = 4 $ см.

Ответ: 4 см.