Номер 79, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Перпендикуляр и наклонная

79. На рисунке 25 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $B_1D$ на плоскость: 1) $ABC$; 2) $ABB_1$; 3) $BCC_1$.

Рис. 25

Проекцией отрезка на плоскость является отрезок, который соединяет проекции его концов на эту плоскость. Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если точка уже лежит в плоскости, её проекция совпадает с самой точкой.

Рассмотрим отрезок $B_1D$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) на плоскость ABC

Чтобы найти проекцию отрезка $B_1D$ на плоскость $ABC$, найдем проекции его конечных точек $B_1$ и $D$.

Проекция точки $B_1$ на плоскость $ABC$: Ребро $BB_1$ куба перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, точка $B$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $B_1$ на плоскость $ABC$. Таким образом, проекция точки $B_1$ — это точка $B$.

Проекция точки $D$ на плоскость $ABC$: Точка $D$ уже принадлежит плоскости $ABC$, поэтому ее проекция — это сама точка $D$.

Соединив проекции концов отрезка, получаем, что проекцией отрезка $B_1D$ на плоскость $ABC$ является отрезок $BD$.

Ответ: $BD$.

2) на плоскость ABB₁

Найдем проекции точек $B_1$ и $D$ на плоскость грани $ABB_1A_1$ (обозначена как $ABB_1$).

Проекция точки $B_1$ на плоскость $ABB_1$: Точка $B_1$ принадлежит этой плоскости, значит, ее проекция — это сама точка $B_1$.

Проекция точки $D$ на плоскость $ABB_1$: В кубе ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$ (так как $ABCD$ — квадрат). Также ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AA_1$ (так как $ADD_1A_1$ — квадрат). Поскольку $AD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($AB$ и $AA_1$) в плоскости $ABB_1$, то $AD$ перпендикулярно всей плоскости $ABB_1$. Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $ABB_1$ является точка $A$.

Соединив проекции, получаем, что проекцией отрезка $B_1D$ на плоскость $ABB_1$ является отрезок $AB_1$.

Ответ: $AB_1$.

3) на плоскость BCC₁

Найдем проекции точек $B_1$ и $D$ на плоскость грани $BCC_1B_1$ (обозначена как $BCC_1$).

Проекция точки $B_1$ на плоскость $BCC_1$: Точка $B_1$ принадлежит этой плоскости, поэтому ее проекция — это сама точка $B_1$.

Проекция точки $D$ на плоскость $BCC_1$: В кубе ребро $CD$ перпендикулярно ребру $BC$ ($ABCD$ — квадрат) и ребру $CC_1$ ($CDD_1C_1$ — квадрат). Так как $CD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($BC$ и $CC_1$) в плоскости $BCC_1$, то $CD$ перпендикулярно всей плоскости $BCC_1$. Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $BCC_1$ является точка $C$.

Соединив проекции, получаем, что проекцией отрезка $B_1D$ на плоскость $BCC_1$ является отрезок $B_1C$.

Ответ: $B_1C$.