Номер 74, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. На рисунке 24 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что четырёхугольник $A_1BCD_1$ – прямоугольник.

Рис. 24

Для доказательства того, что четырехугольник $A_1BCD_1$ является прямоугольником, необходимо установить, что он является параллелограммом, у которого хотя бы один угол прямой.

1. Докажем, что $A_1BCD_1$ — параллелограмм.
Рассмотрим противоположные стороны четырехугольника: $A_1D_1$ и $BC$.По определению куба, все его ребра равны, следовательно, длины этих сторон равны: $A_1D_1 = BC$.Рассмотрим параллельность этих сторон. В верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$, которая является квадратом, сторона $A_1D_1$ параллельна стороне $B_1C_1$. В боковой грани куба $BCC_1B_1$, которая также является квадратом, сторона $B_1C_1$ параллельна стороне $BC$.Поскольку $A_1D_1 \parallel B_1C_1$ и $B_1C_1 \parallel BC$, то по свойству транзитивности параллельных прямых $A_1D_1 \parallel BC$.Таким образом, в четырехугольнике $A_1BCD_1$ две противоположные стороны ($A_1D_1$ и $BC$) равны и параллельны. По признаку параллелограмма, четырехугольник $A_1BCD_1$ является параллелограммом.

2. Докажем, что угол параллелограмма $A_1BCD_1$ прямой.
Рассмотрим угол $\angle A_1BC$.Так как $ABCD$ — квадрат, то ребро $BC$ перпендикулярно ребру $AB$ ($BC \perp AB$).Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $BC$. Следовательно, $BC \perp BB_1$.Прямые $AB$ и $BB_1$ пересекаются в точке $B$ и лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$.Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $BB_1$) в плоскости $ABB_1A_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $ABB_1A_1$.Прямая $A_1B$ является диагональю грани $ABB_1A_1$ и, следовательно, лежит в этой плоскости.По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABB_1A_1$, а значит, $BC \perp A_1B$.Следовательно, угол $\angle A_1BC = 90^\circ$.

Поскольку $A_1BCD_1$ — это параллелограмм, у которого есть прямой угол, он по определению является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.