gdz.top
Номер 71, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 1. Перпендикулярность прямой и плоскости - номер 71, страница 14.
№70
№71 (с. 14)
Условие. №71 (с. 14)
71. Сторона правильного треугольника $ABC$ равна 18 см. Через центр $O$ треугольника проведена прямая $SO$, перпендикулярная его плоскости. Найдите отрезок $SO$, если $\angle SAO = 30^\circ$.
Решение. №71 (с. 14)
Решение 2. №71 (с. 14)
Пусть дан правильный (равносторонний) треугольник $ABC$ со стороной $a = 18$ см. Точка $O$ — центр этого треугольника. По условию, через точку $O$ проведена прямая $SO$, перпендикулярная плоскости треугольника $(ABC)$.
1. Поскольку прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. В частности, $SO \perp AO$. Следовательно, треугольник $\triangle SAO$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SOA = 90^\circ$.
2. В прямоугольном треугольнике $\triangle SAO$ мы можем найти катет $SO$ через другой катет $AO$ и противолежащий угол $\angle SAO$. Используем определение тангенса:
$ \tan(\angle SAO) = \frac{SO}{AO} $
Отсюда выразим искомый отрезок $SO$:
$ SO = AO \cdot \tan(\angle SAO) $
По условию $\angle SAO = 30^\circ$, а $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Тогда:
$ SO = AO \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} $
3. Теперь необходимо найти длину отрезка $AO$. В правильном треугольнике центр $O$ является центром описанной окружности, а отрезок, соединяющий центр с вершиной, является ее радиусом $R$. Таким образом, $AO = R$. Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$ R = \frac{a}{\sqrt{3}} $
Подставим в формулу значение стороны $a = 18$ см:
$ AO = R = \frac{18}{\sqrt{3}} $
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$ AO = \frac{18 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} $ см.
4. Наконец, подставим найденное значение $AO = 6\sqrt{3}$ см в формулу для $SO$:
$ SO = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6 $ см.
Ответ: 6 см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 71 расположенного на странице 14 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №71 (с. 14), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.