Номер 66, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найдите угол между прямыми $A_1B$ и $C_1D$, если

$AD = 3$ см, $AC = 5$ см, $AA_1 = 4\sqrt{3}$ см.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его основание $ABCD$ является прямоугольником. Следовательно, треугольник $\triangle ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. По теореме Пифагора найдем длину стороны $CD$:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

$5^2 = 3^2 + CD^2$

$25 = 9 + CD^2$

$CD^2 = 16$

$CD = 4$ см.

Угол между скрещивающимися прямыми $A_1B$ и $C_1D$ равен углу между пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным. В прямоугольном параллелепипеде боковая грань $ABB_1A_1$ параллельна боковой грани $DCC_1D_1$. Диагональ $A_1B$ грани $ABB_1A_1$ параллельна соответствующей диагонали $D_1C$ грани $DCC_1D_1$. Таким образом, искомый угол равен углу между прямыми $D_1C$ и $C_1D$.

Прямые $D_1C$ и $C_1D$ являются диагоналями прямоугольника $CDD_1C_1$. Найдем угол между ними. Стороны этого прямоугольника равны $CD = 4$ см и $CC_1 = AA_1 = 4\sqrt{3}$ см.

Найдем длину диагонали $C_1D$ из прямоугольного треугольника $\triangle CC_1D$ (с прямым углом при вершине $C$):

$C_1D^2 = CD^2 + CC_1^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 16 \cdot 3 = 16 + 48 = 64$

$C_1D = \sqrt{64} = 8$ см.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $D_1C$ и $C_1D$. Тогда в треугольнике $\triangle OCD$ стороны $OC$ и $OD$ равны половине длины диагонали:

$OC = OD = \frac{1}{2} C_1D = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Мы также знаем, что сторона $CD = 4$ см. Таким образом, треугольник $\triangle OCD$ является равносторонним, так как все его стороны равны 4 см ($OC = OD = CD = 4$ см). Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle DOC$, который является углом между диагоналями, равен $60^\circ$.

Угол между прямыми по определению является острым углом, поэтому искомый угол равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.