Номер 60, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ — изображение квадрата $ABCD$. Постройте изображение прямоугольного равнобедренного треугольника $ADE$ с гипотенузой $AD$, лежащего в плоскости $ABC$ и расположенного вне квадрата $ABCD$.

Анализ

По условию, параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является параллельной проекцией (изображением) квадрата $ABCD$. Нам необходимо построить изображение прямоугольного равнобедренного треугольника $ADE$ с гипотенузой $AD$.

Рассмотрим свойства исходных фигур в плоскости.

1. Треугольник $ADE$ — прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой $AD$. Это означает, что катеты $AE$ и $DE$ равны, а угол $\angle AED = 90^\circ$.

2. Проведем медиану $EM$ к гипотенузе $AD$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Следовательно, $EM = \frac{1}{2}AD$. Кроме того, в равнобедренном треугольнике медиана является и высотой, поэтому $EM \perp AD$.

3. В квадрате $ABCD$ сторона $AB$ перпендикулярна стороне $AD$, то есть $AB \perp AD$.

4. Так как и $EM$, и $AB$ лежат в одной плоскости и перпендикулярны одной и той же прямой $AD$, то они параллельны: $EM \parallel AB$.

5. В квадрате $ABCD$ все стороны равны, поэтому $AD = AB$. Тогда из пункта 2 получаем: $EM = \frac{1}{2}AB$.

Теперь воспользуемся свойствами параллельного проецирования:

- Параллельность прямых сохраняется. Если $EM \parallel AB$, то их изображения $E_1M_1$ и $A_1B_1$ также будут параллельны ($E_1M_1 \parallel A_1B_1$).

- Отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых (или на одной прямой), сохраняется. Так как $EM \parallel AB$ и $EM = \frac{1}{2}AB$, то для их изображений будет выполняться соотношение $E_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$.

- Середина отрезка проецируется в середину проекции отрезка. То есть точка $M_1$, являющаяся изображением середины $M$ отрезка $AD$, будет серединой отрезка $A_1D_1$.

Эти свойства позволяют нам выполнить построение.

Построение

1. Находим середину отрезка $A_1D_1$ и обозначаем ее $M_1$.

2. Через точку $M_1$ проводим прямую, параллельную прямой $A_1B_1$.

3. На этой прямой от точки $M_1$ откладываем отрезок $M_1E_1$, длина которого равна половине длины отрезка $A_1B_1$ ($M_1E_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$). Так как по условию треугольник $ADE$ расположен вне квадрата $ABCD$, точку $E_1$ следует откладывать с внешней стороны от параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$.

4. Соединяем точку $E_1$ с точками $A_1$ и $D_1$.

Полученный треугольник $A_1E_1D_1$ является искомым изображением.

Обоснование

Построенный треугольник $A_1E_1D_1$ является изображением треугольника $ADE$. Точки $A_1$ и $D_1$ даны по условию как изображения точек $A$ и $D$. Точка $E_1$ построена как изображение точки $E$. Проверим это:

- Точка $M_1$ — середина $A_1D_1$, следовательно, является изображением середины $M$ отрезка $AD$.

- Прямая $E_1M_1$ построена параллельно $A_1B_1$, значит, их прообразы $EM$ и $AB$ также параллельны.

- Отношение длин $E_1M_1 / A_1B_1 = 1/2$ сохраняется для прообразов: $EM / AB = 1/2$.

Таким образом, прообраз $E$ точки $E_1$ таков, что $EM \parallel AB$ и $EM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AD$. Из $EM \parallel AB$ и $AB \perp AD$ следует, что $EM \perp AD$. В треугольнике $ADE$ отрезок $EM$ является медианой и высотой, следовательно, $\triangle ADE$ — равнобедренный ($AE=DE$). Так как медиана к стороне $AD$ равна ее половине ($EM = \frac{1}{2}AD$), то $\triangle ADE$ — прямоугольный с гипотенузой $AD$. Построение выполнено верно.

Ответ: Треугольник $A_1E_1D_1$, построенный согласно указанным шагам, является искомым изображением прямоугольного равнобедренного треугольника $ADE$.