Номер 54, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

54. На рисунке 16 изображён куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$, на ребре $AD$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного куба при симметрии относительно:

1) вершины $C$;

2) точки $M$.

Рис. 16

Для построения образа куба при центральной симметрии необходимо построить образы всех его вершин относительно центра симметрии. Образом точки $P$ при симметрии относительно центра $O$ является такая точка $P'$, что точка $O$ является серединой отрезка $PP'$. В векторной форме это записывается как $\vec{OP'} = -\vec{OP}$.

1) вершины C

В качестве центра симметрии выступает вершина куба $C$. Построим образ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ при симметрии относительно точки $C$.

1. Образ вершины $C$ совпадает с самой точкой $C$, так как она является центром симметрии.
2. Найдем образы вершин, смежных с $C$: $B$, $D$ и $C_1$.

• Образом точки $B$ будет точка $B'$, такая что $C$ — середина отрезка $BB'$. Это значит, что точка $B'$ лежит на прямой $BC$ на таком же расстоянии от $C$, что и $B$, но с другой стороны. Фактически, ребро $CB'$ является продолжением ребра $BC$ за точку $C$.
• Аналогично, образом точки $D$ будет точка $D'$, лежащая на продолжении ребра $DC$ за точку $C$ так, что $CD = CD'$.
• Образом точки $C_1$ будет точка $C_1'$, лежащая на продолжении ребра $C_1C$ за точку $C$ так, что $CC_1 = CC_1'$.

3. Образом остальных вершин ($A, A_1, B_1, D_1$) будут соответствующие точки $A', A'_1, B'_1, D'_1$, которые можно найти по тому же правилу. Например, точка $A'$ будет такой, что $C$ — середина диагонали $AA'$.
4. Соединив полученные вершины $A', B', C, D', A'_1, B'_1, C'_1, D'_1$, мы получим новый куб, конгруэнтный (равный) исходному.

Итоговый образ — это куб, который имеет с исходным кубом одну общую точку — вершину $C$. Ребра нового куба, выходящие из этой вершины, являются продолжениями ребер исходного куба, сходящихся в вершине $C$.

Ответ: Образом данного куба при симметрии относительно вершины $C$ является куб, равный исходному, имеющий с ним единственную общую точку $C$.

2) точки M

В качестве центра симметрии выступает точка $M$, принадлежащая ребру $AD$. Построим образ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ при симметрии относительно точки $M$.

1. Для каждой вершины $P$ исходного куба ее образ, точка $P''$, находится так, что $M$ является серединой отрезка $PP''$.
2. Найдем образы вершин $A$ и $D$, между которыми лежит точка $M$.

• Образом точки $A$ будет точка $A''$ такая, что $M$ — середина $AA''$. Точка $A''$ будет лежать на прямой $AD$ с другой стороны от $M$ на расстоянии $AM$.
• Образом точки $D$ будет точка $D''$ такая, что $M$ — середина $DD''$. Точка $D''$ будет лежать на прямой $AD$ с другой стороны от $M$ на расстоянии $DM$.

Таким образом, образом ребра $AD$ является ребро $A''D''$, которое лежит на той же прямой $AD$, но "перевернуто" относительно точки $M$. 3. Образы остальных вершин ($B, C, A_1, B_1, C_1, D_1$) строятся аналогично. Например, для нахождения образа $B''$ вершины $B$ нужно провести прямую через точки $B$ и $M$ и отложить на ней отрезок $MB''$ равный $BM$ за точкой $M$.
4. Соединив полученные вершины $A'', B'', C'', D'', A''_1, B''_1, C''_1, D''_1$, мы получим новый куб, конгруэнтный исходному.

Поскольку центр симметрии $M$ принадлежит самому кубу, то полученный куб будет пересекаться с исходным. Ребро $A''D''$ нового куба лежит на той же прямой, что и ребро $AD$. Плоскость нижней грани нового куба $A''B''C''D''$ совпадает с плоскостью нижней грани исходного куба $ABCD$. Два куба будут иметь общую внутреннюю область.

Ответ: Образом данного куба при симметрии относительно точки $M$ является куб, равный исходному. Этот новый куб расположен так, что его ребро $A''D''$ (образ ребра $AD$) лежит на прямой $AD$, и два куба (исходный и его образ) пересекаются.