Номер 52, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование

52. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 14). При некотором параллельном переносе образом точки $B$ является точка $B_1$. Какая фигура при данном параллельном переносе является образом:

1) точки $C$;

2) отрезка $AD$;

3) отрезка $AC$?

Рис. 14

По условию задачи, при параллельном переносе точка $B$ переходит в точку $B_1$. Это означает, что параллельный перенос задается вектором $\vec{v} = \vec{BB_1}$. Чтобы найти образ любой другой точки или фигуры, нужно сместить ее на этот же вектор.

1) точки C;
Чтобы найти образ точки $C$, необходимо найти такую точку $C'$, что $\vec{CC'} = \vec{BB_1}$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — это куб, его боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, векторы, направленные вдоль этих ребер, равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Из этого равенства следует, что искомая точка $C'$ совпадает с точкой $C_1$, так как $\vec{CC_1} = \vec{BB_1}$. Таким образом, образом точки $C$ является точка $C_1$.
Ответ: точка $C_1$.

2) отрезка AD;
При параллельном переносе образом отрезка является отрезок, равный и параллельный исходному. Чтобы найти образ отрезка $AD$, достаточно найти образы его конечных точек $A$ и $D$.
Образом точки $A$ является точка $A_1$, так как $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$.
Образом точки $D$ является точка $D_1$, так как $\vec{DD_1} = \vec{BB_1}$.
Следовательно, образом отрезка $AD$ является отрезок, соединяющий точки $A_1$ и $D_1$, то есть отрезок $A_1D_1$.
Ответ: отрезок $A_1D_1$.

3) отрезка AC?
Аналогично предыдущему пункту, найдем образы конечных точек отрезка $AC$.
Образом точки $A$ является точка $A_1$ (как показано выше).
Образом точки $C$ является точка $C_1$ (как найдено в пункте 1).
Следовательно, образом отрезка $AC$ (диагонали нижнего основания куба) является отрезок $A_1C_1$ (диагональ верхнего основания куба).
Ответ: отрезок $A_1C_1$.