Номер 48, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 4 см. На отрезке $AC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MC = 3 : 1$. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $BC_1D$, и вычислите периметр сечения.

Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ на отрезке $AC$ и параллельна плоскости $(BC_1D)$. Для построения сечения воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.

Сначала рассмотрим плоскость основания куба $(ABCD)$. Эта плоскость содержит точку $M$. Плоскость $(BC_1D)$ пересекает плоскость $(ABCD)$ по прямой $BD$. Следовательно, плоскость сечения $\alpha$ будет пересекать плоскость $(ABCD)$ по прямой, проходящей через точку $M$ и параллельной прямой $BD$. Проведем эту прямую. Диагонали $AC$ и $BD$ квадрата $ABCD$ пересекаются в его центре $O$. По условию, $AM : MC = 3 : 1$. Так как $O$ — середина $AC$, то $AO : OC = 1 : 1 = 2 : 2$. Из отношения $AM : MC = 3 : 1$ следует, что точка $M$ лежит на отрезке $OC$, причем $M$ — середина $OC$. В треугольнике $BCD$ прямая, проходящая через $M$ параллельно $BD$, пересечет стороны $BC$ и $CD$. Обозначим точки пересечения $P$ на $BC$ и $Q$ на $CD$. Отрезок $PQ$ — первая сторона сечения.

Далее, рассмотрим плоскость боковой грани $(BCC_1B_1)$. Эта плоскость содержит точку $P$. Плоскость $(BC_1D)$ пересекает плоскость $(BCC_1B_1)$ по прямой $BC_1$. Следовательно, плоскость сечения $\alpha$ будет пересекать плоскость $(BCC_1B_1)$ по прямой, проходящей через точку $P$ и параллельной прямой $BC_1$. Проведем эту прямую. Пусть она пересекает ребро $CC_1$ в точке $R$. Отрезок $PR$ — вторая сторона сечения.

Аналогично, в плоскости боковой грани $(CDD_1C_1)$, содержащей точку $Q$, сечение пройдет по прямой, параллельной $DC_1$ (линии пересечения $(BC_1D)$ и $(CDD_1C_1)$). Эта прямая, выходящая из точки $Q$, также пересечет ребро $CC_1$ в той же точке $R$.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $PQR$.

Ответ: Сечением является треугольник $PQR$, вершины которого $P$, $Q$ и $R$ лежат на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ куба соответственно.

Ребро куба $a = 4$ см.

Найдем положение точек $P$, $Q$, $R$. Как было установлено при построении, точка $M$ является серединой отрезка $OC$ (где $O$ — центр основания). Так как в плоскости основания $PQ || BD$, из подобия треугольников $CQP$ и $CDB$ следует, что $P$ и $Q$ являются серединами ребер $BC$ и $CD$ соответственно.
Значит, $CP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см, и $CQ = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

В плоскости грани $BCC_1B_1$ прямая $PR$ параллельна $BC_1$. Так как $P$ — середина $BC$, то по теореме Фалеса $R$ является серединой ребра $CC_1$.
Значит, $CR = \frac{1}{2} CC_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь вычислим длины сторон треугольника $PQR$.
Сторона $PQ$ является средней линией в треугольнике $BCD$. Длина диагонали основания $BD = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ см.
Следовательно, $PQ = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.
Сторону $PR$ найдем из прямоугольного треугольника $PCR$ (угол при вершине $C$ прямой, т.к. $CC_1 \perp (ABCD)$). По теореме Пифагора: $PR = \sqrt{PC^2 + CR^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.
Сторону $QR$ найдем из прямоугольного треугольника $QCR$ (угол при вершине $C$ прямой). По теореме Пифагора: $QR = \sqrt{QC^2 + CR^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Все стороны сечения равны, $PQ = PR = QR = 2\sqrt{2}$ см, значит, сечение является равносторонним треугольником.
Периметр сечения равен сумме длин его сторон:
$P_{PQR} = 3 \cdot PQ = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.