Номер 42, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Медианы $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ параллельны плоскости $\alpha$. Через точки $A$ и $B$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $AA_1B_1B$ — параллелограмм.

По условию задачи, медианы $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ параллельны плоскости $\alpha$. Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке (называемой центроидом). Таким образом, $AM$ и $CK$ — это две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости треугольника $(ABC)$.

Воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. В нашем случае прямые $AM$ и $CK$ лежат в плоскости $(ABC)$, пересекаются и каждая из них параллельна плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскость $(ABC)$ параллельна плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $AA_1B_1B$. По условию, через точки $A$ и $B$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A_1$ и $B_1$. Это означает, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ лежат на параллельных прямых, то есть $AA_1 \parallel BB_1$.

Мы доказали, что плоскость $(ABC)$ параллельна плоскости $\alpha$. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $(ABC)$, а точки $A_1$ и $B_1$ лежат в плоскости $\alpha$. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ являются отрезками параллельных прямых, заключенными между двумя параллельными плоскостями. По свойству параллельных плоскостей, такие отрезки равны между собой. Таким образом, $AA_1 = BB_1$.

В четырехугольнике $AA_1B_1B$ противоположные стороны $AA_1$ и $BB_1$ одновременно параллельны ($AA_1 \parallel BB_1$) и равны ($AA_1 = BB_1$). Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $AA_1B_1B$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $AA_1B_1B$ является параллелограммом.