Номер 35, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Постройте сечение пирамиды $SABC$ (рис. 12) плоскостью, которая проходит через точку $N$ на ребре $SA$ и параллельна прямым $AB$ и $SC$.

Рис. 12

Для построения сечения пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$, которая проходит через точку $N$ на ребре $SA$ и параллельна прямым $AB$ и $SC$, выполним следующие шаги:

1. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью SAB.
Так как секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$, а прямая $AB$ лежит в плоскости грани $(SAB)$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(SAB)$ будет прямой, параллельной $AB$. Поскольку точка $N$ принадлежит и секущей плоскости $\alpha$, и грани $(SAB)$, эта прямая будет проходить через точку $N$.
Проведем в плоскости $(SAB)$ через точку $N$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая пересечет ребро $SB$ в точке $K$. Отрезок $NK$ является стороной искомого сечения. Таким образом, $NK \parallel AB$.

2. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью SAC.
По условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SC$, которая лежит в плоскости грани $(SAC)$. Точка $N$ также принадлежит этой грани. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(SAC)$ — это прямая, проходящая через точку $N$ параллельно $SC$.
Проведем в плоскости $(SAC)$ через точку $N$ прямую, параллельную $SC$. Эта прямая пересечет ребро основания $AC$ в точке $M$. Отрезок $NM$ является второй стороной искомого сечения. Таким образом, $NM \parallel SC$.

3. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью SBC.
Точка $K$, полученная в первом шаге, принадлежит ребру $SB$, а значит, и грани $(SBC)$. Так как плоскость сечения $\alpha$ параллельна $SC$, то ее линия пересечения с плоскостью $(SBC)$ будет прямой, проходящей через точку $K$ параллельно $SC$.
Проведем в плоскости $(SBC)$ через точку $K$ прямую, параллельную $SC$. Эта прямая пересечет ребро основания $BC$ в точке $P$. Отрезок $KP$ — третья сторона сечения. Таким образом, $KP \parallel SC$.

4. Завершение построения сечения.
Точки $M$ и $P$ принадлежат как секущей плоскости $\alpha$, так и плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, отрезок $MP$, соединяющий эти точки, является линией пересечения плоскости $\alpha$ с основанием пирамиды и является четвертой стороной сечения.
Заметим, что поскольку плоскость $\alpha$ параллельна $AB$ и пересекает плоскость $(ABC)$, содержащую $AB$, то линия их пересечения $MP$ также будет параллельна $AB$.

В результате последовательного соединения точек $N, K, P, M$ получаем четырехугольник $NKPM$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $NKPM$, где $K \in SB, M \in AC, P \in BC$, построенный таким образом, что $NK \parallel AB$, $NM \parallel SC$ и $KP \parallel SC$.