Страница 8 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Плоскость $ \alpha $ пересекает стороны $ AB $ и $ AC $ треугольника $ ABC $ в точках $ B_1 $ и $ C_1 $ соответственно, причём $ AC_1 : C_1C = 3 : 2 $ и $ B_1C_1 = 5 $ см. Найдите отрезок $ BC $, если прямая $ BC $ и плоскость $ \alpha $ параллельны.

Плоскость треугольника $(ABC)$ и плоскость $\alpha$ пересекаются. Прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$. Точки $B_1$ и $C_1$ принадлежат плоскости $\alpha$ (так как они являются точками пересечения сторон треугольника с этой плоскостью) и одновременно принадлежат плоскости $(ABC)$ (так как лежат на сторонах $AB$ и $AC$). Следовательно, прямая $B_1C_1$ является линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $\alpha$.

По условию задачи, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Существует теорема: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

В нашем случае плоскость $(ABC)$ проходит через прямую $BC$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $B_1C_1$. Следовательно, $BC \parallel B_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle ABC$.
1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
2. Так как $BC \parallel B_1C_1$, то углы $\angle AB_1C_1$ и $\angle ABC$ равны как соответственные при параллельных прямых и секущей $AB$.

Таким образом, $\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC$ (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC} $

По условию $AC_1 : C_1C = 3:2$. Примем $AC_1 = 3x$, тогда $C_1C = 2x$. Длина всей стороны $AC$ равна сумме длин ее частей: $AC = AC_1 + C_1C = 3x + 2x = 5x$.

Найдем отношение сторон $AC_1$ и $AC$: $ \frac{AC_1}{AC} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} $

Теперь подставим известные значения в пропорцию: $B_1C_1 = 5$ см и $\frac{AC_1}{AC} = \frac{3}{5}$. $ \frac{3}{5} = \frac{5}{BC} $

Выразим из этого уравнения $BC$: $ 3 \cdot BC = 5 \cdot 5 $ $ BC = \frac{25}{3} $

Ответ: $\frac{25}{3}$ см.

33. На ребре $AC$ тетраэдра $SABC$ отметили точку $D$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $S$ и $D$ и параллельной прямой $BC$.

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точки $S$ и $D$ и параллельна прямой $BC$.

Построение сечения основывается на свойстве параллельных прямой и плоскости: если плоскость, параллельная некоторой прямой, пересекает другую плоскость, содержащую эту прямую, то линия их пересечения параллельна данной прямой.

1. Рассмотрим плоскость основания тетраэдра $(ABC)$. Она содержит прямую $BC$. Точка $D$ лежит на ребре $AC$, а значит, принадлежит плоскости $(ABC)$.

2. Искомая плоскость сечения $\alpha$ по условию параллельна прямой $BC$. Так как точка $D$ принадлежит одновременно и плоскости сечения $\alpha$, и плоскости основания $(ABC)$, она лежит на линии их пересечения. Согласно указанному выше свойству, эта линия пересечения должна быть параллельна прямой $BC$.

3. Проведем в плоскости основания $(ABC)$ через точку $D$ прямую, параллельную $BC$. Эта прямая пересечет ребро $AB$ в некоторой точке $E$. Отрезок $DE$ является стороной искомого сечения, лежащей в грани $ABC$.

4. Теперь у нас есть три точки, определяющие плоскость сечения: $S$, $D$ и $E$. Соединим их отрезками, чтобы получить замкнутый многоугольник сечения.

• Точки $S$ и $D$ лежат в плоскости грани $SAC$, поэтому отрезок $SD$ — это след сечения на этой грани.
• Точки $S$ и $E$ лежат в плоскости грани $SAB$, поэтому отрезок $SE$ — это след сечения на этой грани.

5. В результате получаем треугольник $SDE$, который и является искомым сечением.

Проверим корректность построения. Плоскость $(SDE)$ проходит через точки $S$ и $D$ по построению. Она также параллельна прямой $BC$, поскольку содержит прямую $DE$, которая была построена параллельно $BC$ ($DE \parallel BC$). Таким образом, построенное сечение удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $SDE$, где точка $E$ является точкой пересечения ребра $AB$ с прямой, проведенной в плоскости $ABC$ через точку $D$ параллельно прямой $BC$.

35. Постройте сечение пирамиды $SABC$ (рис. 12) плоскостью, которая проходит через точку $N$ на ребре $SA$ и параллельна прямым $AB$ и $SC$.

Рис. 12

Для построения сечения пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$, которая проходит через точку $N$ на ребре $SA$ и параллельна прямым $AB$ и $SC$, выполним следующие шаги:

1. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью SAB.
Так как секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$, а прямая $AB$ лежит в плоскости грани $(SAB)$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(SAB)$ будет прямой, параллельной $AB$. Поскольку точка $N$ принадлежит и секущей плоскости $\alpha$, и грани $(SAB)$, эта прямая будет проходить через точку $N$.
Проведем в плоскости $(SAB)$ через точку $N$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая пересечет ребро $SB$ в точке $K$. Отрезок $NK$ является стороной искомого сечения. Таким образом, $NK \parallel AB$.

2. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью SAC.
По условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SC$, которая лежит в плоскости грани $(SAC)$. Точка $N$ также принадлежит этой грани. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(SAC)$ — это прямая, проходящая через точку $N$ параллельно $SC$.
Проведем в плоскости $(SAC)$ через точку $N$ прямую, параллельную $SC$. Эта прямая пересечет ребро основания $AC$ в точке $M$. Отрезок $NM$ является второй стороной искомого сечения. Таким образом, $NM \parallel SC$.

3. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью SBC.
Точка $K$, полученная в первом шаге, принадлежит ребру $SB$, а значит, и грани $(SBC)$. Так как плоскость сечения $\alpha$ параллельна $SC$, то ее линия пересечения с плоскостью $(SBC)$ будет прямой, проходящей через точку $K$ параллельно $SC$.
Проведем в плоскости $(SBC)$ через точку $K$ прямую, параллельную $SC$. Эта прямая пересечет ребро основания $BC$ в точке $P$. Отрезок $KP$ — третья сторона сечения. Таким образом, $KP \parallel SC$.

4. Завершение построения сечения.
Точки $M$ и $P$ принадлежат как секущей плоскости $\alpha$, так и плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, отрезок $MP$, соединяющий эти точки, является линией пересечения плоскости $\alpha$ с основанием пирамиды и является четвертой стороной сечения.
Заметим, что поскольку плоскость $\alpha$ параллельна $AB$ и пересекает плоскость $(ABC)$, содержащую $AB$, то линия их пересечения $MP$ также будет параллельна $AB$.

В результате последовательного соединения точек $N, K, P, M$ получаем четырехугольник $NKPM$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $NKPM$, где $K \in SB, M \in AC, P \in BC$, построенный таким образом, что $NK \parallel AB$, $NM \parallel SC$ и $KP \parallel SC$.