Номер 33, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. На ребре $AC$ тетраэдра $SABC$ отметили точку $D$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $S$ и $D$ и параллельной прямой $BC$.

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точки $S$ и $D$ и параллельна прямой $BC$.

Построение сечения основывается на свойстве параллельных прямой и плоскости: если плоскость, параллельная некоторой прямой, пересекает другую плоскость, содержащую эту прямую, то линия их пересечения параллельна данной прямой.

1. Рассмотрим плоскость основания тетраэдра $(ABC)$. Она содержит прямую $BC$. Точка $D$ лежит на ребре $AC$, а значит, принадлежит плоскости $(ABC)$.

2. Искомая плоскость сечения $\alpha$ по условию параллельна прямой $BC$. Так как точка $D$ принадлежит одновременно и плоскости сечения $\alpha$, и плоскости основания $(ABC)$, она лежит на линии их пересечения. Согласно указанному выше свойству, эта линия пересечения должна быть параллельна прямой $BC$.

3. Проведем в плоскости основания $(ABC)$ через точку $D$ прямую, параллельную $BC$. Эта прямая пересечет ребро $AB$ в некоторой точке $E$. Отрезок $DE$ является стороной искомого сечения, лежащей в грани $ABC$.

4. Теперь у нас есть три точки, определяющие плоскость сечения: $S$, $D$ и $E$. Соединим их отрезками, чтобы получить замкнутый многоугольник сечения.

• Точки $S$ и $D$ лежат в плоскости грани $SAC$, поэтому отрезок $SD$ — это след сечения на этой грани.
• Точки $S$ и $E$ лежат в плоскости грани $SAB$, поэтому отрезок $SE$ — это след сечения на этой грани.

5. В результате получаем треугольник $SDE$, который и является искомым сечением.

Проверим корректность построения. Плоскость $(SDE)$ проходит через точки $S$ и $D$ по построению. Она также параллельна прямой $BC$, поскольку содержит прямую $DE$, которая была построена параллельно $BC$ ($DE \parallel BC$). Таким образом, построенное сечение удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $SDE$, где точка $E$ является точкой пересечения ребра $AB$ с прямой, проведенной в плоскости $ABC$ через точку $D$ параллельно прямой $BC$.