Номер 32, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

32. Трапеция $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ лежит в плоскости $\alpha$, $AB = 8$ см. Вне плоскости $\alpha$ выбрали точку $M$ и на отрезке $AM$ отметили такую точку $K$, что $AK : KM = 3 : 1$ (рис. 11). Постройте точку $F$ пересечения плоскости $DKC$ и прямой $MB$ и найдите отрезок $KF$.

Рис. 11

Постройте точку F пересечения плоскости DKC и прямой MB
Точка F является точкой пересечения прямой MB и плоскости (DKC). Для построения этой точки найдем прямую, по которой пересекаются плоскость (DKC) и плоскость, содержащая прямую MB.
1. Прямая MB лежит в плоскости треугольника AMB, то есть в плоскости (AMB).
2. Найдем линию пересечения плоскостей (AMB) и (DKC).
3. Точка K по условию лежит на отрезке AM, следовательно, точка K принадлежит плоскости (AMB). Также по определению плоскости (DKC) точка K принадлежит и ей. Значит, точка K лежит на линии пересечения этих плоскостей.
4. Трапеция ABCD лежит в плоскости $\alpha$ и ее основания параллельны: $AB \parallel CD$. Прямая AB лежит в плоскости (AMB), а прямая CD — в плоскости (DKC).
5. Согласно свойству, если две параллельные прямые лежат в двух пересекающихся плоскостях, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данным прямым. Следовательно, линия пересечения плоскостей (AMB) и (DKC) параллельна прямым AB и CD.
6. Таким образом, линия пересечения плоскостей (AMB) и (DKC) — это прямая, проходящая через их общую точку K параллельно прямой AB.
7. Искомая точка F, как точка пересечения прямой MB и плоскости (DKC), должна лежать на линии пересечения плоскостей (AMB) и (DKC). Так как F также лежит на прямой MB, то F является точкой пересечения прямой MB и прямой, проходящей через K параллельно AB.
Построение: В плоскости треугольника AMB проводим через точку K прямую, параллельную AB. Точка пересечения этой прямой с отрезком MB и есть искомая точка F.
Ответ: Точка F – это точка пересечения прямой MB с прямой, проходящей через точку K параллельно AB.

Найдите отрезок KF
Рассмотрим треугольник AMB. В нем K — точка на стороне AM, F — точка на стороне MB. По построению, прямая KF параллельна стороне AB ($KF \parallel AB$).
Следовательно, треугольник MKF подобен треугольнику MAB ($\triangle MKF \sim \triangle MAB$) по двум углам (угол при вершине M — общий, а углы $\angle MKF$ и $\angle MAB$ равны как соответственные при параллельных прямых KF и AB и секущей AM).
Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$ \frac{MK}{MA} = \frac{MF}{MB} = \frac{KF}{AB} $
По условию дано отношение $AK : KM = 3 : 1$. Примем длину отрезка KM за $x$, тогда длина отрезка AK будет равна $3x$.
Длина всего отрезка MA равна сумме длин его частей: $MA = AK + KM = 3x + x = 4x$.
Найдем отношение сторон MK и MA:
$ \frac{MK}{MA} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} $
Теперь воспользуемся пропорцией из подобия треугольников и известной длиной AB = 8 см:
$ \frac{KF}{AB} = \frac{MK}{MA} $
$ \frac{KF}{8} = \frac{1}{4} $
Отсюда находим KF:
$ KF = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2 $ см.
Ответ: 2 см.