Номер 31, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Плоскость $ \alpha $ пересекает стороны $ AB $ и $ AC $ треугольника $ ABC $ в точках $ B_1 $ и $ C_1 $ соответственно, причём $ AC_1 : C_1C = 3 : 2 $ и $ B_1C_1 = 5 $ см. Найдите отрезок $ BC $, если прямая $ BC $ и плоскость $ \alpha $ параллельны.

Плоскость треугольника $(ABC)$ и плоскость $\alpha$ пересекаются. Прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$. Точки $B_1$ и $C_1$ принадлежат плоскости $\alpha$ (так как они являются точками пересечения сторон треугольника с этой плоскостью) и одновременно принадлежат плоскости $(ABC)$ (так как лежат на сторонах $AB$ и $AC$). Следовательно, прямая $B_1C_1$ является линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $\alpha$.

По условию задачи, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Существует теорема: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

В нашем случае плоскость $(ABC)$ проходит через прямую $BC$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $B_1C_1$. Следовательно, $BC \parallel B_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle ABC$.
1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
2. Так как $BC \parallel B_1C_1$, то углы $\angle AB_1C_1$ и $\angle ABC$ равны как соответственные при параллельных прямых и секущей $AB$.

Таким образом, $\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC$ (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC} $

По условию $AC_1 : C_1C = 3:2$. Примем $AC_1 = 3x$, тогда $C_1C = 2x$. Длина всей стороны $AC$ равна сумме длин ее частей: $AC = AC_1 + C_1C = 3x + 2x = 5x$.

Найдем отношение сторон $AC_1$ и $AC$: $ \frac{AC_1}{AC} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} $

Теперь подставим известные значения в пропорцию: $B_1C_1 = 5$ см и $\frac{AC_1}{AC} = \frac{3}{5}$. $ \frac{3}{5} = \frac{5}{BC} $

Выразим из этого уравнения $BC$: $ 3 \cdot BC = 5 \cdot 5 $ $ BC = \frac{25}{3} $

Ответ: $\frac{25}{3}$ см.