Номер 34, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Постройте сечение призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью, которая проходит через точки $M$ и $K$, принадлежащие соответственно рёбрам $AB$ и $C_1 D_1$, и параллельна прямой $CC_1$.

Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $K$, где $M \in AB$ и $K \in C_1D_1$, и параллельна прямой $CC_1$.

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — призма, все ее боковые ребра параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$. Из условия, что секущая плоскость $\alpha$ параллельна $CC_1$, следует, что она параллельна всем боковым ребрам призмы.

Построение сечения выполняется в несколько шагов:

1. В плоскости боковой грани $ABB_1A_1$ через точку $M$ проведем прямую, параллельную боковому ребру $AA_1$. Так как по свойству призмы $AA_1 \parallel CC_1$, а по условию $\alpha \parallel CC_1$, то и $\alpha \parallel AA_1$. Следовательно, построенная прямая принадлежит секущей плоскости $\alpha$. Точку пересечения этой прямой с ребром $A_1B_1$ обозначим $P$. Отрезок $MP$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABB_1A_1$.

2. В плоскости боковой грани $CDD_1C_1$ через точку $K$ проведем прямую, параллельную боковому ребру $CC_1$. Так как $\alpha \parallel CC_1$, эта прямая также принадлежит секущей плоскости $\alpha$. Точку пересечения этой прямой с ребром $CD$ обозначим $N$. Отрезок $KN$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $CDD_1C_1$.

3. Теперь у нас есть четыре точки, принадлежащие секущей плоскости: $M$, $P$, $K$, $N$. Соединим точки, лежащие в одних и тех же гранях призмы. Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$, поэтому отрезок $MN$ — это след сечения на этой грани. Точки $P$ и $K$ лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, поэтому отрезок $PK$ — след сечения на этой грани.

4. В результате мы получаем замкнутый многоугольник $MPKN$. Его стороны $MP$, $PK$, $KN$ и $NM$ лежат на гранях призмы. Следовательно, четырехугольник $MPKN$ является искомым сечением.

Построенная плоскость $(MPKN)$ удовлетворяет всем условиям задачи: она проходит через точки $M$ и $K$; она содержит прямую $MP$, которая по построению параллельна $CC_1$, а значит, и сама плоскость параллельна прямой $CC_1$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $MPKN$, где $P$ — точка на ребре $A_1B_1$ такая, что $MP \parallel AA_1$, и $N$ — точка на ребре $CD$ такая, что $KN \parallel CC_1$.