Номер 41, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, $A \in \alpha$, $B \in \alpha$, $C \in \beta$, $D \in \beta$, $AC \parallel BD$, $CD = 3\sqrt{2}$ см, $BD = 4$ см, $\angle ABD = 135^\circ$. Найдите отрезок $AD$.

Поскольку по условию плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α || β$), а отрезки $AC$ и $BD$ также параллельны ($AC || BD$), то эти отрезки определяют плоскость $γ$, в которой они лежат.

Плоскость $γ$ пересекает параллельные плоскости $α$ и $β$. Линиями пересечения являются прямые $AB$ (так как точки $A$ и $B$ лежат в $α$) и $CD$ (так как точки $C$ и $D$ лежат в $β$). По свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB || CD$).

Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. У него противолежащие стороны попарно параллельны: $AB || CD$ (что мы доказали) и $AC || BD$ (по условию). Таким образом, $ABDC$ является параллелограммом.

В параллелограмме противолежащие стороны равны. Значит, $AB = CD$. Из условия известно, что $CD = 3\sqrt{2}$ см, следовательно, $AB = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Мы ищем сторону $AD$. Нам известны две другие стороны этого треугольника и угол между ними:

• $AB = 3\sqrt{2}$ см
• $BD = 4$ см
• $\angle ABD = 135^{\circ}$

Для нахождения длины стороны $AD$ применим теорему косинусов: $AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\angle ABD)$

Подставим известные значения в формулу: $AD^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos(135^{\circ})$

Вычислим значение косинуса угла $135^{\circ}$: $\cos(135^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos(45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значение косинуса в уравнение и выполним вычисления: $AD^2 = (9 \cdot 2) + 16 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$AD^2 = 18 + 16 - 24\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$AD^2 = 34 + \frac{24\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}$
$AD^2 = 34 + \frac{24 \cdot 2}{2}$
$AD^2 = 34 + 24$
$AD^2 = 58$

Отсюда находим длину отрезка $AD$: $AD = \sqrt{58}$ см.

Ответ: $\sqrt{58}$ см.