Номер 38, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Постройте точку пересечения с плоскостью нижнего основания треугольной призмы прямой, проходящей через две точки, принадлежащие двум разным боковым граням призмы.

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей (методом следов).

Пусть дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ – нижнее основание. Пусть точка $M$ принадлежит боковой грани $AA_1B_1B$, а точка $N$ принадлежит боковой грани $BB_1C_1C$. Требуется построить точку $X$ – точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.

1. Построение проекций точек M и N на плоскость нижнего основания.

Через точку $M$, принадлежащую грани $AA_1B_1B$, проведем прямую, параллельную боковому ребру призмы (например, $AA_1$). Точка пересечения этой прямой с ребром нижнего основания $AB$ и будет являться проекцией точки $M$ на плоскость $(ABC)$. Обозначим эту точку $M_p$. Таким образом, $M_p$ – точка на отрезке $AB$ такая, что $MM_p \parallel AA_1$.

Аналогично, через точку $N$, принадлежащую грани $BB_1C_1C$, проведем прямую, параллельную боковому ребру $BB_1$. Точка пересечения этой прямой с ребром нижнего основания $BC$ будет проекцией точки $N$. Обозначим эту точку $N_p$. Таким образом, $N_p$ – точка на отрезке $BC$ такая, что $NN_p \parallel BB_1$.

2. Построение следа вспомогательной плоскости.

Так как прямые $MM_p$ и $NN_p$ параллельны (обе параллельны боковым ребрам призмы), то через них можно провести плоскость. Эта плоскость $(MNN_pM_p)$ является вспомогательной секущей плоскостью. Прямая $MN$ лежит в этой плоскости.

Прямая, по которой вспомогательная плоскость $(MNN_pM_p)$ пересекается с плоскостью нижнего основания $(ABC)$, называется следом. В данном случае след – это прямая, проходящая через точки $M_p$ и $N_p$, так как обе эти точки лежат в обеих плоскостях. Проведем прямую $M_p N_p$.

3. Нахождение искомой точки пересечения.

Искомая точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABC)$ должна лежать как на прямой $MN$, так и в плоскости $(ABC)$.

Прямая $MN$ и прямая $M_p N_p$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(MNN_pM_p)$, следовательно, они пересекаются (за исключением случая, когда они параллельны, что означало бы, что прямая $MN$ параллельна плоскости основания).

Продлим прямую $MN$ и прямую $M_p N_p$ до их пересечения. Точку их пересечения обозначим $X$.

Точка $X$ принадлежит прямой $MN$ по построению. Точка $X$ также принадлежит прямой $M_p N_p$, а так как прямая $M_p N_p$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$, то и точка $X$ лежит в плоскости $(ABC)$.

Следовательно, точка $X$ является искомой точкой пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания призмы.

Ответ: Искомая точка $X$ является точкой пересечения прямой $MN$ и прямой $M_p N_p$, где $M_p$ и $N_p$ – это проекции точек $M$ и $N$ на плоскость нижнего основания $(ABC)$ параллельно боковым ребрам призмы.