Номер 43, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Сторона $AB$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$, параллельная плоскости $\alpha$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Найдите отрезок $A_1B_1$, если $A_1C = 9$ см, $AA_1 = 3$ см, $AB = 8$ см.

По условию задачи, сторона $AB$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$, параллельная плоскости $\alpha$ ($\beta \parallel \alpha$), пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C$.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, и они пересекаются третьей плоскостью (плоскостью треугольника $ABC$), то линии их пересечения параллельны. Линия пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$ — это прямая $AB$. Линия пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\beta$ — это прямая $A_1B_1$. Следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$.

Поскольку прямая $A_1B_1$ параллельна стороне $AB$, то треугольник $\triangle A_1B_1C$ подобен треугольнику $\triangle ABC$. Подобие доказывается по двум углам:

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.

2. Углы $\angle CA_1B_1$ и $\angle CAB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$ и $AB$ и секущей $AC$.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

$\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC} = \frac{A_1B_1}{AB}$

Найдем длину стороны $AC$. Так как точка $A_1$ лежит на отрезке $AC$, то длина $AC$ равна сумме длин отрезков $AA_1$ и $A_1C$.

$AC = AA_1 + A_1C$

Из условия задачи нам известно, что $A_1C = 9$ см и $AA_1 = 3$ см. Подставим эти значения:

$AC = 3 \text{ см} + 9 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Теперь воспользуемся пропорцией для нахождения длины отрезка $A_1B_1$. Нам также известно, что $AB = 8$ см.

$\frac{A_1C}{AC} = \frac{A_1B_1}{AB}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{9}{12} = \frac{A_1B_1}{8}$

Выразим $A_1B_1$ из этой пропорции:

$A_1B_1 = 8 \cdot \frac{9}{12}$

Сократим дробь $\frac{9}{12}$ на 3, получим $\frac{3}{4}$:

$A_1B_1 = 8 \cdot \frac{3}{4} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.