Номер 47, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точку $M$, принадлежащую ребру $A_1B_1$, и прямую $AC$.

Для построения сечения обозначим секущую плоскость как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой: $A$, $C$ и $M$ (где $M$ — точка на ребре $A_1B_1$).

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Точки $A$ и $C$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$ и одновременно лежат в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Следовательно, их соединяющий отрезок $AC$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABCD$. Это первая сторона искомого сечения.

2. Плоскости оснований параллелепипеда параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым. Линия пересечения с плоскостью $(ABC)$ — это прямая $AC$. Значит, линия пересечения с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ должна быть ей параллельна и проходить через точку $M$, которая по условию лежит в секущей плоскости.

3. Проведем в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1)$ прямую через точку $M$ параллельно $AC$. Поскольку в параллелепипеде диагональ $A_1C_1$ параллельна диагонали $AC$, то мы строим прямую, параллельную $A_1C_1$. Эта прямая пересечет ребро $B_1C_1$ в некоторой точке $N$. Отрезок $MN$ — вторая сторона сечения, лежащая на верхней грани.

4. Теперь у нас есть четыре вершины многоугольника сечения: $A, M, N, C$. Соединим последовательно точки, лежащие в одних гранях:

   • Точки $A$ и $M$ лежат в плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$. Соединяем их и получаем сторону сечения $AM$.
   • Точки $N$ и $C$ лежат в плоскости боковой грани $(BCC_1B_1)$. Соединяем их и получаем сторону сечения $NC$.

5. В результате получаем замкнутый четырехугольник $AMNC$. Его стороны $AC$, $AM$, $MN$, $NC$ лежат на гранях параллелепипеда. Следовательно, четырехугольник $AMNC$ — искомое сечение. Так как по построению стороны $MN$ и $AC$ параллельны, то сечение является трапецией.

Ответ: Искомое сечение — трапеция $AMNC$, где точка $N$ является точкой пересечения ребра $B_1C_1$ с прямой, проходящей через точку $M$ параллельно прямой $AC$.