Номер 53, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. На рисунке 15 изображён тетраэдр $DABC$, точка $M$ — середина ребра $AD$. Постройте образ данного тетраэдра при параллельном переносе, в результате которого:

1) образом точки $A$ является точка $C$;

2) образом точки $B$ является точка $M$.

Рис. 15

1)

Параллельный перенос, в результате которого образом точки $A$ является точка $C$, задаётся вектором переноса $\vec{v} = \vec{AC}$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$, необходимо осуществить параллельный перенос всех его вершин на вектор $\vec{v}$. Обозначим образы вершин $A, B, C, D$ как $A', B', C', D'$ соответственно.

Построение образов вершин:

1. Образ точки $A$: По условию, точка $A$ переходит в точку $C$. Таким образом, $A' = C$.

2. Образ точки $B$: Строим точку $B'$ так, чтобы выполнялось векторное равенство $\vec{BB'} = \vec{AC}$. Для этого от точки $B$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{AC}$. Геометрически это означает, что четырёхугольник $AC B'B$ является параллелограммом.

3. Образ точки $C$: Строим точку $C'$ так, чтобы $\vec{CC'} = \vec{AC}$. Это означает, что точка $C'$ лежит на продолжении отрезка $AC$ за точку $C$, причём $AC = CC'$. Точка $C$ является серединой отрезка $AC'$.

4. Образ точки $D$: Строим точку $D'$ так, чтобы $\vec{DD'} = \vec{AC}$. Для этого от точки $D$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{AC}$. Четырёхугольник $AC D'D$ будет являться параллелограммом.

Соединив полученные вершины $A'=C, B', C', D'$, мы получаем искомый образ — тетраэдр $D'CB'C'$.

Ответ: Искомый образ — тетраэдр $D'CB'C'$, где вершины $B'$, $C'$, $D'$ являются образами вершин $B$, $C$, $D$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AC}$.

2)

Параллельный перенос, в результате которого образом точки $B$ является точка $M$, задаётся вектором переноса $\vec{w} = \vec{BM}$. По условию, точка $M$ является серединой ребра $AD$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$, необходимо осуществить параллельный перенос всех его вершин на вектор $\vec{w}$. Обозначим образы вершин $A, B, C, D$ как $A'', B'', C'', D''$ соответственно.

Построение образов вершин:

1. Образ точки $A$: Строим точку $A''$ так, чтобы выполнялось векторное равенство $\vec{AA''} = \vec{BM}$. Для этого от точки $A$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{BM}$.

2. Образ точки $B$: По условию, точка $B$ переходит в точку $M$. Таким образом, $B'' = M$.

3. Образ точки $C$: Строим точку $C''$ так, чтобы $\vec{CC''} = \vec{BM}$. Для этого от точки $C$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{BM}$.

4. Образ точки $D$: Строим точку $D''$ так, чтобы $\vec{DD''} = \vec{BM}$. Для этого от точки $D$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{BM}$.

Соединив полученные вершины $A'', B''=M, C'', D''$, мы получаем искомый образ — тетраэдр $D''A''MC''$.

Ответ: Искомый образ — тетраэдр $D''A''MC''$, где вершины $A''$, $C''$, $D''$ являются образами вершин $A$, $C$, $D$ при параллельном переносе на вектор $\vec{BM}$.