Страница 11 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, которая проходит через точки $M, K \text{ и } N$, принадлежащие соответственно рёбрам $AB, B_1C_1 \text{ и } CC_1$.

Для построения сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $M \in AB$, $K \in B_1C_1$ и $N \in CC_1$, выполним следующие действия по шагам:

1. Поскольку точки $K$ и $N$ лежат в плоскости одной грани $BCC_1B_1$, мы можем соединить их. Отрезок $NK$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Далее воспользуемся методом следов для нахождения остальных точек. Построим след секущей плоскости на плоскости нижнего основания ($ABCD$). Для этого найдём точку пересечения прямой $NK$ с плоскостью ($ABCD$). Прямая $NK$ и прямая $BC$ лежат в одной плоскости ($BCC_1B_1$), поэтому найдём их точку пересечения: $P = NK \cap BC$. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой $NK$) и плоскости основания (так как лежит на прямой $BC$). Точка $M$ по условию также принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, прямая $MP$ является следом секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$.

3. Найдём точки пересечения следа $MP$ с рёбрами основания $ABCD$. Одна точка, $M$, лежит на ребре $AB$. Проведём прямую $MP$ и найдём её точку пересечения с другим ребром основания. В общем случае, в зависимости от расположения исходных точек, эта прямая может пересечь ребро $AD$ или $CD$. Будем считать, что она пересекает ребро $AD$ в точке $L$. Таким образом, отрезок $ML$ — это сторона сечения, лежащая на грани $ABCD$.

4. Для нахождения остальных вершин сечения используем свойство параллельности граней параллелепипеда: секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.
   - Грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Значит, линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью будет параллельна её следу на нижней грани ($MP$). Проведём через точку $K$ в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ прямую, параллельную $MP$. Пусть она пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $T$. Отрезок $KT$ — сторона сечения.
   - Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ также параллельны. Линия пересечения с гранью $ADD_1A_1$ будет параллельна прямой $NK$. Проведём через точку $L$ в плоскости $ADD_1A_1$ прямую, параллельную $NK$. Пусть она пересекает ребро $DD_1$ в точке $S$. Отрезок $LS$ — ещё одна сторона сечения.

5. Мы получили все вершины искомого сечения: $M \in AB$, $L \in AD$, $S \in DD_1$, $N \in CC_1$, $K \in B_1C_1$ и $T \in A_1B_1$. Теперь последовательно соединим отрезками те вершины, которые лежат в одной грани:
   - $M$ и $T$ в грани $ABB_1A_1$ → отрезок $MT$.
   - $T$ и $K$ в грани $A_1B_1C_1D_1$ → отрезок $TK$.
   - $K$ и $N$ в грани $BCC_1B_1$ → отрезок $NK$.
   - $N$ и $S$ в грани $CDD_1C_1$ → отрезок $NS$.
   - $S$ и $L$ в грани $ADD_1A_1$ → отрезок $LS$.
   - $L$ и $M$ в грани $ABCD$ → отрезок $ML$.
   Полученный замкнутый шестиугольник $MTKNSL$ является искомым сечением.

Следует отметить, что в зависимости от конкретного расположения точек $M$, $K$ и $N$ сечение может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником или шестиугольником. Описанный алгоритм рассматривает общий случай, который приводит к построению шестиугольника.

Ответ: Искомым сечением является многоугольник $MTKNSL$ (в общем случае шестиугольник), построенный в соответствии с описанным алгоритмом.

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование

52. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 14). При некотором параллельном переносе образом точки $B$ является точка $B_1$. Какая фигура при данном параллельном переносе является образом:

1) точки $C$;

2) отрезка $AD$;

3) отрезка $AC$?

Рис. 14

По условию задачи, при параллельном переносе точка $B$ переходит в точку $B_1$. Это означает, что параллельный перенос задается вектором $\vec{v} = \vec{BB_1}$. Чтобы найти образ любой другой точки или фигуры, нужно сместить ее на этот же вектор.

1) точки C;
Чтобы найти образ точки $C$, необходимо найти такую точку $C'$, что $\vec{CC'} = \vec{BB_1}$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — это куб, его боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, векторы, направленные вдоль этих ребер, равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Из этого равенства следует, что искомая точка $C'$ совпадает с точкой $C_1$, так как $\vec{CC_1} = \vec{BB_1}$. Таким образом, образом точки $C$ является точка $C_1$.
Ответ: точка $C_1$.

2) отрезка AD;
При параллельном переносе образом отрезка является отрезок, равный и параллельный исходному. Чтобы найти образ отрезка $AD$, достаточно найти образы его конечных точек $A$ и $D$.
Образом точки $A$ является точка $A_1$, так как $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$.
Образом точки $D$ является точка $D_1$, так как $\vec{DD_1} = \vec{BB_1}$.
Следовательно, образом отрезка $AD$ является отрезок, соединяющий точки $A_1$ и $D_1$, то есть отрезок $A_1D_1$.
Ответ: отрезок $A_1D_1$.

3) отрезка AC?
Аналогично предыдущему пункту, найдем образы конечных точек отрезка $AC$.
Образом точки $A$ является точка $A_1$ (как показано выше).
Образом точки $C$ является точка $C_1$ (как найдено в пункте 1).
Следовательно, образом отрезка $AC$ (диагонали нижнего основания куба) является отрезок $A_1C_1$ (диагональ верхнего основания куба).
Ответ: отрезок $A_1C_1$.

53. На рисунке 15 изображён тетраэдр $DABC$, точка $M$ — середина ребра $AD$. Постройте образ данного тетраэдра при параллельном переносе, в результате которого:

1) образом точки $A$ является точка $C$;

2) образом точки $B$ является точка $M$.

Рис. 15

1)

Параллельный перенос, в результате которого образом точки $A$ является точка $C$, задаётся вектором переноса $\vec{v} = \vec{AC}$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$, необходимо осуществить параллельный перенос всех его вершин на вектор $\vec{v}$. Обозначим образы вершин $A, B, C, D$ как $A', B', C', D'$ соответственно.

Построение образов вершин:

1. Образ точки $A$: По условию, точка $A$ переходит в точку $C$. Таким образом, $A' = C$.

2. Образ точки $B$: Строим точку $B'$ так, чтобы выполнялось векторное равенство $\vec{BB'} = \vec{AC}$. Для этого от точки $B$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{AC}$. Геометрически это означает, что четырёхугольник $AC B'B$ является параллелограммом.

3. Образ точки $C$: Строим точку $C'$ так, чтобы $\vec{CC'} = \vec{AC}$. Это означает, что точка $C'$ лежит на продолжении отрезка $AC$ за точку $C$, причём $AC = CC'$. Точка $C$ является серединой отрезка $AC'$.

4. Образ точки $D$: Строим точку $D'$ так, чтобы $\vec{DD'} = \vec{AC}$. Для этого от точки $D$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{AC}$. Четырёхугольник $AC D'D$ будет являться параллелограммом.

Соединив полученные вершины $A'=C, B', C', D'$, мы получаем искомый образ — тетраэдр $D'CB'C'$.

Ответ: Искомый образ — тетраэдр $D'CB'C'$, где вершины $B'$, $C'$, $D'$ являются образами вершин $B$, $C$, $D$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AC}$.

2)

Параллельный перенос, в результате которого образом точки $B$ является точка $M$, задаётся вектором переноса $\vec{w} = \vec{BM}$. По условию, точка $M$ является серединой ребра $AD$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$, необходимо осуществить параллельный перенос всех его вершин на вектор $\vec{w}$. Обозначим образы вершин $A, B, C, D$ как $A'', B'', C'', D''$ соответственно.

Построение образов вершин:

1. Образ точки $A$: Строим точку $A''$ так, чтобы выполнялось векторное равенство $\vec{AA''} = \vec{BM}$. Для этого от точки $A$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{BM}$.

2. Образ точки $B$: По условию, точка $B$ переходит в точку $M$. Таким образом, $B'' = M$.

3. Образ точки $C$: Строим точку $C''$ так, чтобы $\vec{CC''} = \vec{BM}$. Для этого от точки $C$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{BM}$.

4. Образ точки $D$: Строим точку $D''$ так, чтобы $\vec{DD''} = \vec{BM}$. Для этого от точки $D$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{BM}$.

Соединив полученные вершины $A'', B''=M, C'', D''$, мы получаем искомый образ — тетраэдр $D''A''MC''$.

Ответ: Искомый образ — тетраэдр $D''A''MC''$, где вершины $A''$, $C''$, $D''$ являются образами вершин $A$, $C$, $D$ при параллельном переносе на вектор $\vec{BM}$.

54. На рисунке 16 изображён куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$, на ребре $AD$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного куба при симметрии относительно:

1) вершины $C$;

2) точки $M$.

Рис. 16

Для построения образа куба при центральной симметрии необходимо построить образы всех его вершин относительно центра симметрии. Образом точки $P$ при симметрии относительно центра $O$ является такая точка $P'$, что точка $O$ является серединой отрезка $PP'$. В векторной форме это записывается как $\vec{OP'} = -\vec{OP}$.

1) вершины C

В качестве центра симметрии выступает вершина куба $C$. Построим образ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ при симметрии относительно точки $C$.

1. Образ вершины $C$ совпадает с самой точкой $C$, так как она является центром симметрии.
2. Найдем образы вершин, смежных с $C$: $B$, $D$ и $C_1$.

• Образом точки $B$ будет точка $B'$, такая что $C$ — середина отрезка $BB'$. Это значит, что точка $B'$ лежит на прямой $BC$ на таком же расстоянии от $C$, что и $B$, но с другой стороны. Фактически, ребро $CB'$ является продолжением ребра $BC$ за точку $C$.
• Аналогично, образом точки $D$ будет точка $D'$, лежащая на продолжении ребра $DC$ за точку $C$ так, что $CD = CD'$.
• Образом точки $C_1$ будет точка $C_1'$, лежащая на продолжении ребра $C_1C$ за точку $C$ так, что $CC_1 = CC_1'$.

3. Образом остальных вершин ($A, A_1, B_1, D_1$) будут соответствующие точки $A', A'_1, B'_1, D'_1$, которые можно найти по тому же правилу. Например, точка $A'$ будет такой, что $C$ — середина диагонали $AA'$.
4. Соединив полученные вершины $A', B', C, D', A'_1, B'_1, C'_1, D'_1$, мы получим новый куб, конгруэнтный (равный) исходному.

Итоговый образ — это куб, который имеет с исходным кубом одну общую точку — вершину $C$. Ребра нового куба, выходящие из этой вершины, являются продолжениями ребер исходного куба, сходящихся в вершине $C$.

Ответ: Образом данного куба при симметрии относительно вершины $C$ является куб, равный исходному, имеющий с ним единственную общую точку $C$.

2) точки M

В качестве центра симметрии выступает точка $M$, принадлежащая ребру $AD$. Построим образ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ при симметрии относительно точки $M$.

1. Для каждой вершины $P$ исходного куба ее образ, точка $P''$, находится так, что $M$ является серединой отрезка $PP''$.
2. Найдем образы вершин $A$ и $D$, между которыми лежит точка $M$.

• Образом точки $A$ будет точка $A''$ такая, что $M$ — середина $AA''$. Точка $A''$ будет лежать на прямой $AD$ с другой стороны от $M$ на расстоянии $AM$.
• Образом точки $D$ будет точка $D''$ такая, что $M$ — середина $DD''$. Точка $D''$ будет лежать на прямой $AD$ с другой стороны от $M$ на расстоянии $DM$.

Таким образом, образом ребра $AD$ является ребро $A''D''$, которое лежит на той же прямой $AD$, но "перевернуто" относительно точки $M$. 3. Образы остальных вершин ($B, C, A_1, B_1, C_1, D_1$) строятся аналогично. Например, для нахождения образа $B''$ вершины $B$ нужно провести прямую через точки $B$ и $M$ и отложить на ней отрезок $MB''$ равный $BM$ за точкой $M$.
4. Соединив полученные вершины $A'', B'', C'', D'', A''_1, B''_1, C''_1, D''_1$, мы получим новый куб, конгруэнтный исходному.

Поскольку центр симметрии $M$ принадлежит самому кубу, то полученный куб будет пересекаться с исходным. Ребро $A''D''$ нового куба лежит на той же прямой, что и ребро $AD$. Плоскость нижней грани нового куба $A''B''C''D''$ совпадает с плоскостью нижней грани исходного куба $ABCD$. Два куба будут иметь общую внутреннюю область.

Ответ: Образом данного куба при симметрии относительно точки $M$ является куб, равный исходному. Этот новый куб расположен так, что его ребро $A''D''$ (образ ребра $AD$) лежит на прямой $AD$, и два куба (исходный и его образ) пересекаются.

55. Может ли быть параллельной проекцией параллелограмма четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, углы которого $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$ соответственно равны $70^\circ, 110^\circ, 110^\circ$ и $70^\circ$?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся одним из ключевых свойств параллельного проектирования: при параллельном проектировании параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

Пусть $ABCD$ — исходный параллелограмм. По определению параллелограмма, его противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel DC$ и $AD \parallel BC$.

При параллельном проектировании на некоторую плоскость, если проекцией является невырожденный четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$, то свойство параллельности сторон сохраняется. Это означает, что проекции противоположных сторон исходного параллелограмма также будут параллельны: $A_1B_1 \parallel D_1C_1$ и $A_1D_1 \parallel B_1C_1$.

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, параллельная проекция параллелограмма (невырожденная) всегда является параллелограммом.

Теперь рассмотрим предложенный четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$, углы которого равны:$\angle A_1 = 70^\circ$$\angle B_1 = 110^\circ$$\angle C_1 = 110^\circ$$\angle D_1 = 70^\circ$

Проверим, является ли этот четырехугольник параллелограммом. Одно из основных свойств параллелограмма — равенство его противоположных углов. В нашем случае:

• Противоположные углы $\angle A_1$ и $\angle C_1$ не равны: $\angle A_1 = 70^\circ$, а $\angle C_1 = 110^\circ$.
• Противоположные углы $\angle B_1$ и $\angle D_1$ также не равны: $\angle B_1 = 110^\circ$, а $\angle D_1 = 70^\circ$.

Поскольку у четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ противоположные углы не равны, он не является параллелограммом. (Этот четырехугольник является равнобокой трапецией, так как $\angle A_1 + \angle B_1 = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$, что означает $A_1D_1 \parallel B_1C_1$, а углы при основании $A_1D_1$ равны: $\angle A_1 = \angle D_1 = 70^\circ$).

Так как параллельная проекция параллелограмма должна быть параллелограммом, а данный четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ параллелограммом не является, он не может быть параллельной проекцией параллелограмма.

Ответ: Нет, не может.