Страница 6 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 8).

Укажите его рёбра:

1) параллельные ребру $AD$;

2) скрещивающиеся с ребром $AD$.

Рис. 8

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) параллельные ребру AD;

Параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В кубе грани являются квадратами.

• Ребро $AD$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$. В этой плоскости ребру $AD$ параллельно противолежащее ребро $BC$, так как $ABCD$ — квадрат. Следовательно, $AD \parallel BC$.
• Ребро $AD$ также лежит в плоскости передней грани $ADD_1A_1$. В этой плоскости ребру $AD$ параллельно ребро $A_1D_1$, так как $ADD_1A_1$ — квадрат. Следовательно, $AD \parallel A_1D_1$.
• Ребро $B_1C_1$ параллельно ребру $A_1D_1$ (так как они лежат в грани $A_1B_1C_1D_1$), которое, в свою очередь, параллельно $AD$. По свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве, ребро $B_1C_1$ также параллельно ребру $AD$. Следовательно, $AD \parallel B_1C_1$.

Таким образом, ребру $AD$ параллельны три ребра куба.

Ответ: $BC$, $A_1D_1$, $B_1C_1$.

2) скрещивающиеся с ребром AD.

Скрещивающимися называются прямые в пространстве, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Чтобы найти рёбра, скрещивающиеся с $AD$, необходимо из всех рёбер куба исключить те, которые пересекают ребро $AD$ или параллельны ему.

• Рёбра, параллельные $AD$: $BC$, $A_1D_1$, $B_1C_1$ (найдены в пункте 1).
• Рёбра, пересекающие $AD$: это рёбра, имеющие с $AD$ общую вершину (вершину $A$ или $D$).
  • В вершине $A$ с ребром $AD$ пересекаются рёбра $AB$ и $AA_1$.
  • В вершине $D$ с ребром $AD$ пересекаются рёбра $DC$ и $DD_1$.

Всего у куба 12 рёбер. Исключим само ребро $AD$, 3 параллельных ему ребра и 4 пересекающихся с ним ребра. Оставшиеся рёбра будут скрещивающимися с $AD$.

Рёбра, которые остаются:

• Вертикальные рёбра, не имеющие общих вершин с $AD$: $BB_1$ и $CC_1$.
• Рёбра верхнего основания, не параллельные $AD$: $A_1B_1$ и $C_1D_1$.

Таким образом, с ребром $AD$ скрещиваются четыре ребра куба.

Ответ: $BB_1$, $CC_1$, $A_1B_1$, $C_1D_1$.

20. Точки $A, B, C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ — скрещивающиеся.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Соответственно, если прямые не являются скрещивающимися, то они должны лежать в одной плоскости (быть компланарными).

Предположим, что прямые AB и CD не являются скрещивающимися. В этом случае они лежат в некоторой одной плоскости, назовем её $\alpha$.

Если прямая AB лежит в плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии и все её точки, в частности точки A и B, принадлежат этой плоскости ($A \in \alpha$ и $B \in \alpha$).
Аналогично, если прямая CD лежит в плоскости $\alpha$, то и точки C и D также принадлежат этой плоскости ($C \in \alpha$ и $D \in \alpha$).

Таким образом, из нашего предположения следует, что все четыре точки A, B, C и D лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.

Однако это утверждение прямо противоречит условию задачи, которое гласит, что точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые AB и CD не могут лежать в одной плоскости.

Ответ: По определению, прямые, которые не лежат в одной плоскости, являются скрещивающимися. Таким образом, прямые AB и CD — скрещивающиеся, что и требовалось доказать.

21. Прямые $a$ и $b$ параллельны, а прямая $c$ пересекает каждую из них. Докажите, что прямые $a, b$ и $c$ лежат в одной плоскости.

1. Согласно теореме о существовании и единственности плоскости, проходящей через две параллельные прямые, через прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) проходит одна и только одна плоскость. Назовем ее плоскостью $\alpha$. Это означает, что обе прямые, $a$ и $b$, лежат в этой плоскости ($a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$).

2. По условию, прямая $c$ пересекает прямую $a$. Обозначим точку их пересечения $A$. Поскольку вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ принадлежит этой плоскости ($A \in \alpha$).

3. Аналогично, по условию, прямая $c$ пересекает прямую $b$. Обозначим точку их пересечения $B$. Поскольку вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ принадлежит этой плоскости ($B \in \alpha$).

4. Точки $A$ и $B$ различны. Если бы они совпадали ($A = B$), то прямые $a$ и $b$ имели бы общую точку, что противоречит условию их параллельности.

5. Таким образом, мы имеем две различные точки $A$ и $B$ прямой $c$, которые обе принадлежат плоскости $\alpha$.

6. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

7. Мы показали, что все три прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной и той же плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

22. Через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая $a$, не принадлежащая плоскости $ABC$, а через точку $C$ — прямая $b$, параллельная прямой $BD$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ — скрещивающиеся.

Для доказательства того, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых. Этот признак гласит: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

1. Обозначим плоскость, в которой лежит параллелограмм $ABCD$, как плоскость $\alpha$.

2. Рассмотрим прямую $b$. По условию, она проходит через точку $C$ и параллельна прямой $BD$ ($b \parallel BD$). Поскольку точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$ и прямая $BD$ также лежит в плоскости $\alpha$, то прямая $b$, проходящая через точку $C$ и параллельная прямой $BD$, целиком лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, $b \subset \alpha$.

3. Рассмотрим прямую $a$. По условию, она проходит через точку $A$ и не принадлежит плоскости $ABC$ (то есть плоскости $\alpha$). Это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке, и эта точка — $A$.

4. Теперь необходимо убедиться, что точка пересечения прямой $a$ с плоскостью $\alpha$ (точка $A$) не лежит на прямой $b$. Прямая $b$ проходит через точку $C$ и параллельна диагонали $BD$. Предположим, что точка $A$ лежит на прямой $b$. В этом случае прямая, проходящая через точки $A$ и $C$ (то есть диагональ $AC$), будет совпадать с прямой $b$. Тогда получилось бы, что диагональ $AC$ параллельна диагонали $BD$. Однако в любом невырожденном параллелограмме диагонали пересекаются, а не параллельны. Следовательно, наше предположение неверно, и точка $A$ не принадлежит прямой $b$ ($A \notin b$).

5. Итак, мы установили, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $a$ пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не лежит на прямой $b$. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, прямые $a$ и $b$ — скрещивающиеся.

23. Через конец A отрезка AB проведена плоскость $\alpha$, а через точку B — прямая, пересекающая плоскость $\alpha$ в точке $B_1$. Точка C принадлежит отрезку AB.

1) Постройте точку $C_1$ пересечения плоскости $\alpha$ с прямой, проходящей через точку C и параллельной прямой $BB_1$.

2) Найдите отрезок $BB_1$, если $AB = 10$ см, $AC : CC_1 = 2 : 5$.

1) Постройте точку C₁ пересечения плоскости α с прямой, проходящей через точку C и параллельной прямой BB₁.

Точки A, B и B₁ не лежат на одной прямой и, следовательно, задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость β.

Поскольку точки A и B принадлежат плоскости β, то и весь отрезок AB, а значит и точка C, принадлежащая этому отрезку, также лежит в плоскости β. Прямая BB₁ по построению тоже лежит в плоскости β.

Прямая, проходящая через точку C и параллельная прямой BB₁ (обозначим ее c), целиком лежит в той же плоскости β (так как она проходит через точку C ∈ β и параллельна прямой BB₁ ⊂ β).

Точка A и точка B₁ по условию принадлежат плоскости α. Следовательно, прямая AB₁ является линией пересечения плоскостей α и β.

Искомая точка C₁ является точкой пересечения прямой c и плоскости α. Так как прямая c лежит в плоскости β, то точка C₁ должна принадлежать линии пересечения плоскостей α и β, то есть прямой AB₁.

Таким образом, для построения точки C₁ необходимо в плоскости β (плоскости треугольника ABB₁) провести прямую через точку C параллельно BB₁. Точка пересечения этой прямой с прямой AB₁ и будет искомой точкой C₁.

Ответ: Точка C₁ является точкой пересечения прямой AB₁ и прямой, проходящей через точку C параллельно прямой BB₁.

2) Найдите отрезок BB₁, если AB = 10 см, AC : CC₁ = 2 : 5.

Рассмотрим треугольник ABB₁. Согласно построению из пункта 1, отрезок CC₁ параллелен отрезку BB₁ ($CC_1 \parallel BB_1$).

Поскольку $CC_1 \parallel BB_1$, то треугольник ACC₁ подобен треугольнику ABB₁ ($ \triangle ACC_1 \sim \triangle ABB_1 $) по двум углам:
1. $ \angle BAB_1 $ — общий.
2. $ \angle ACC_1 = \angle ABB_1 $ как соответственные углы при параллельных прямых CC₁ и BB₁ и секущей AB.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$ \frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1} $

По условию дано отношение $ AC : CC_1 = 2 : 5 $. Это можно записать в виде $ \frac{AC}{CC_1} = \frac{2}{5} $, откуда $ AC = \frac{2}{5} CC_1 $.

Подставим известные значения и соотношения в пропорцию:
$ \frac{\frac{2}{5} CC_1}{10} = \frac{CC_1}{BB_1} $

Так как длина отрезка $ CC_1 $ не равна нулю, обе части уравнения можно разделить на $ CC_1 $:
$ \frac{\frac{2}{5}}{10} = \frac{1}{BB_1} $
$ \frac{2}{5 \cdot 10} = \frac{1}{BB_1} $
$ \frac{2}{50} = \frac{1}{BB_1} $
$ \frac{1}{25} = \frac{1}{BB_1} $

Отсюда находим длину отрезка $ BB_1 $:
$ BB_1 = 25 $ см.

Ответ: 25 см.