Номер 22, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая $a$, не принадлежащая плоскости $ABC$, а через точку $C$ — прямая $b$, параллельная прямой $BD$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ — скрещивающиеся.

Для доказательства того, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых. Этот признак гласит: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

1. Обозначим плоскость, в которой лежит параллелограмм $ABCD$, как плоскость $\alpha$.

2. Рассмотрим прямую $b$. По условию, она проходит через точку $C$ и параллельна прямой $BD$ ($b \parallel BD$). Поскольку точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$ и прямая $BD$ также лежит в плоскости $\alpha$, то прямая $b$, проходящая через точку $C$ и параллельная прямой $BD$, целиком лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, $b \subset \alpha$.

3. Рассмотрим прямую $a$. По условию, она проходит через точку $A$ и не принадлежит плоскости $ABC$ (то есть плоскости $\alpha$). Это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке, и эта точка — $A$.

4. Теперь необходимо убедиться, что точка пересечения прямой $a$ с плоскостью $\alpha$ (точка $A$) не лежит на прямой $b$. Прямая $b$ проходит через точку $C$ и параллельна диагонали $BD$. Предположим, что точка $A$ лежит на прямой $b$. В этом случае прямая, проходящая через точки $A$ и $C$ (то есть диагональ $AC$), будет совпадать с прямой $b$. Тогда получилось бы, что диагональ $AC$ параллельна диагонали $BD$. Однако в любом невырожденном параллелограмме диагонали пересекаются, а не параллельны. Следовательно, наше предположение неверно, и точка $A$ не принадлежит прямой $b$ ($A \notin b$).

5. Итак, мы установили, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $a$ пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не лежит на прямой $b$. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, прямые $a$ и $b$ — скрещивающиеся.