Номер 18, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Постройте сечение призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 7) плоскостью, проходящей через вершины $C$ и $D_1$ и точку $F$ ребра $AA_1$.

Рис. 7

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $C$, $D_1$ и $F$, где $F$ лежит на ребре $AA_1$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Построение следов секущей плоскости на гранях, содержащих заданные точки.

Поскольку точки $D_1$ и $C$ лежат в одной плоскости (плоскости грани $DCC_1D_1$), соединяем их отрезком. Отрезок $D_1C$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с гранью $DCC_1D_1$.
Аналогично, точки $D_1$ и $F$ лежат в одной плоскости (плоскости грани $ADD_1A_1$), поэтому соединяем их отрезком $D_1F$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $ADD_1A_1$.

2. Построение следа на параллельной грани.

Грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ призмы параллельны. Согласно свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Мы уже знаем линию пересечения с гранью $DCC_1D_1$ — это прямая $D_1C$. Следовательно, линия пересечения с параллельной ей гранью $ABB_1A_1$ будет прямой, параллельной $D_1C$.
Точка $F$ принадлежит как секущей плоскости, так и грани $ABB_1A_1$. Поэтому в плоскости грани $ABB_1A_1$ через точку $F$ проводим прямую, параллельную $D_1C$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в некоторой точке $E$. Отрезок $FE$ — это след секущей плоскости на грани $ABB_1A_1$.

3. Завершение построения сечения.

В результате предыдущих шагов мы получили четыре точки, принадлежащие секущей плоскости и лежащие на ребрах или в вершинах призмы: $F$, $E$, $C$ и $D_1$. Точки $E$ и $C$ лежат в одной плоскости (плоскости грани $BCC_1B_1$), поэтому их можно соединить. Отрезок $EC$ — это след секущей плоскости на грани $BCC_1B_1$.
Соединив последовательно точки $F \rightarrow E \rightarrow C \rightarrow D_1 \rightarrow F$, получаем четырехугольник $FECD_1$. Этот четырехугольник и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение призмы — четырехугольник $FECD_1$.