Номер 15, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Дана призма $ABC A_1 B_1 C_1$ (рис. 4). Точка $D$ принадлежит прямой $A_1 B_1$, точка $E$ — ребру $AB$. Постройте сечение призмы плоскостью $CDE$.

Рис. 4

Для построения сечения призмы плоскостью $CDE$ выполним следующие шаги:

1. Нахождение линии пересечения с гранью $ABB_1A_1$

Точка $E$ по условию принадлежит ребру $AB$, а значит, и прямой $AB$. Точка $D$ принадлежит прямой $A_1B_1$. В призме прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны. Две параллельные прямые задают плоскость, которая в данном случае является плоскостью боковой грани $ABB_1A_1$.
Поскольку точки $D$ и $E$ лежат на прямых, принадлежащих плоскости $(ABB_1A_1)$, то и сами точки $D$ и $E$, а следовательно, и вся прямая $DE$ лежат в плоскости этой грани.
Прямая $DE$ является линией пересечения секущей плоскости $(CDE)$ с плоскостью грани $(ABB_1A_1)$. Чтобы найти сторону сечения на этой грани, найдем точки пересечения прямой $DE$ с ребрами четырехугольника $ABB_1A_1$. Одна точка пересечения — $E$ на ребре $AB$. Проведем прямую через точки $D$ и $E$ до пересечения с ребром $AA_1$. Обозначим эту точку пересечения $P$. Отрезок $PE$ — это сторона искомого сечения.

2. Нахождение линии пересечения с гранью $ACC_1A_1$

Теперь в плоскости грани $ACC_1A_1$ у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $C$ (вершина призмы) и точка $P$, полученная в предыдущем шаге на ребре $AA_1$. Соединив эти точки, получим отрезок $CP$, который является второй стороной сечения.

3. Нахождение линии пересечения с основанием $ABC$

В плоскости нижнего основания $(ABC)$ также есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $C$ (вершина призмы) и точка $E$ (на ребре $AB$). Соединив их, получим отрезок $CE$, который является третьей стороной сечения.

4. Построение итогового сечения

Соединив последовательно точки $P$, $E$ и $C$, мы получаем замкнутый треугольник $PCE$. Все его вершины лежат на ребрах призмы, а стороны — на ее гранях. Следовательно, треугольник $PCE$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $PCE$, где точка $P$ является точкой пересечения прямой $DE$ и ребра $AA_1$.