Номер 9, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

9. Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что все прямые, которые пересекают прямую $b$ и проходят через произвольную точку прямой $a$, отличную от точки $O$, лежат в одной плоскости.

Так как прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$, то согласно аксиоме стереометрии, они определяют единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Таким образом, и прямая $a$, и прямая $b$ целиком лежат в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$).

Рассмотрим произвольную прямую $c$, которая удовлетворяет условиям, изложенным в задаче. По определению, эта прямая $c$ должна:
1) Проходить через некоторую точку $A$ на прямой $a$, причем точка $A$ не совпадает с точкой $O$ ($A \in a, A \neq O$).
2) Пересекать прямую $b$ в некоторой точке $B$ ($B \in b$).

Так как точка $A$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$). Аналогично, так как точка $B$ принадлежит прямой $b$, а прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

Прямая $c$ проходит через две точки $A$ и $B$. Эти точки различны, так как если бы они совпадали ($A=B$), то эта точка была бы общей точкой для прямых $a$ и $b$, то есть точкой $O$. Но по условию $A \neq O$, следовательно, $A \neq B$.

Итак, прямая $c$ проходит через две различные точки $A$ и $B$, обе из которых принадлежат плоскости $\alpha$. По следствию из аксиом стереометрии, если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

Поскольку наш выбор прямой $c$ был произвольным, это означает, что любая прямая, удовлетворяющая условиям задачи, будет лежать в одной и той же плоскости $\alpha$ — плоскости, заданной пересекающимися прямыми $a$ и $b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Все прямые, которые пересекают прямую $b$ и проходят через произвольную точку прямой $a$, отличную от точки $O$, лежат в одной плоскости, а именно в той, которая определяется пересекающимися прямыми $a$ и $b$.