Номер 13, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 1. Пространственные фигуры. Начальные сведения о многогранниках - номер 13, страница 5.

Условие.

13. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки:

1) $A_1$, $C_1$ и $D$;

2) $A$, $C$ и середину ребра $BB_1$.

Решение.

Решение 2.

Для построения сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся аксиомами и свойствами стереометрии. Основной метод заключается в соединении заданных точек, лежащих в одной грани, и последующем нахождении точек пересечения секущей плоскости с ребрами параллелепипеда.

1) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точки: A₁, C₁ и D

Для построения сечения, проходящего через точки $A_1$, $C_1$ и $D$, выполним следующие шаги:

1. Соединим точки, которые лежат в плоскости одной и той же грани параллелепипеда.
2. Точки $A_1$ и $C_1$ принадлежат верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, отрезок $A_1C_1$ является стороной искомого сечения.
3. Точки $C_1$ и $D$ принадлежат задней грани $CDD_1C_1$. Следовательно, отрезок $C_1D$ также является стороной сечения.
4. Точки $A_1$ и $D$ принадлежат левой боковой грани $ADD_1A_1$. Следовательно, отрезок $A_1D$ — это третья сторона сечения.

В результате получаем замкнутую фигуру — треугольник $A_1C_1D$. Все стороны этого треугольника лежат на гранях параллелепипеда. Таким образом, треугольник $A_1C_1D$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $A_1C_1D$.

2) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точки: A, C и середину ребра BB₁

Обозначим середину ребра $BB_1$ точкой $M$. Для построения сечения, проходящего через точки $A$, $C$ и $M$, выполним следующие шаги:

1. Соединим точки, которые лежат в плоскости одной и той же грани параллелепипеда.
2. Точки $A$ и $C$ принадлежат нижней грани $ABCD$. Проводим отрезок $AC$, который является стороной искомого сечения.
3. Точка $A$ является вершиной передней грани $ABB_1A_1$. Точка $M$ лежит на ребре $BB_1$, которое также принадлежит этой грани. Следовательно, точки $A$ и $M$ лежат в одной плоскости. Проводим отрезок $AM$ — вторую сторону сечения.
4. Точка $C$ является вершиной правой боковой грани $BCC_1B_1$. Точка $M$ лежит на ребре $BB_1$, которое также принадлежит этой грани. Следовательно, точки $C$ и $M$ лежат в одной плоскости. Проводим отрезок $CM$ — третью сторону сечения.

Полученные отрезки $AC$, $AM$ и $CM$ образуют треугольник $ACM$. Этот треугольник "отсекает" вершину $B$ от параллелепипеда. Так как все стороны треугольника $ACM$ являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями параллелепипеда, он и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $ACM$, где $M$ — середина ребра $BB_1$.