Номер 6, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Середины трёх сторон треугольника принадлежат плоскости $\alpha$. Докажите, что вершины данного треугольника принадлежат плоскости $\alpha$.

Пусть дан треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A$, $B$ и $C$. Пусть точки $M$, $N$ и $P$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. По условию задачи, точки $M$, $N$ и $P$ принадлежат плоскости $\alpha$.

Докажем, что вершины $A$, $B$ и $C$ также принадлежат плоскости $\alpha$. Будем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что хотя бы одна из вершин треугольника не принадлежит плоскости $\alpha$. Пусть, для определённости, это будет вершина $A$, то есть $A \notin \alpha$.

Рассмотрим прямую $AB$. Точка $M$ — середина отрезка $AB$, и по условию $M \in \alpha$. Так как точка $A$ не лежит в плоскости $\alpha$, а точка $M$ лежит в этой плоскости, то прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $M$. Из этого следует, что точка $B$ не может лежать в плоскости $\alpha$, так как в противном случае вся прямая $AB$ (и, следовательно, точка $A$) лежала бы в плоскости $\alpha$, что противоречит нашему предположению. Таким образом, $B \notin \alpha$.

Аналогично рассмотрим прямую $AC$. Точка $P$ — середина отрезка $AC$, и по условию $P \in \alpha$. Так как $A \notin \alpha$, а $P \in \alpha$, прямая $AC$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $P$. Следовательно, точка $C$ также не может лежать в плоскости $\alpha$. Таким образом, $C \notin \alpha$.

Итак, наше предположение, что $A \notin \alpha$, привело к выводу, что $B \notin \alpha$ и $C \notin \alpha$.

Теперь рассмотрим точки $M$ и $P$. Обе эти точки по условию лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $MP$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Отрезок $MP$ является средней линией треугольника $ABC$, так как он соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника. Значит, прямая $MP$ параллельна прямой $BC$.

Мы имеем следующую ситуацию: прямая $BC$ параллельна прямой $MP$, а прямая $MP$ лежит в плоскости $\alpha$. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $BC$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в плоскости $\alpha$.

По условию, точка $N$ — середина стороны $BC$ — принадлежит плоскости $\alpha$ ($N \in \alpha$). Это означает, что прямая $BC$ имеет общую точку с плоскостью $\alpha$. Если прямая параллельна плоскости, она не имеет с ней общих точек. Поскольку у прямой $BC$ и плоскости $\alpha$ есть общая точка $N$, то прямая $BC$ не может быть параллельна плоскости $\alpha$. Единственная оставшаяся возможность — прямая $BC$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Если прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, то и все её точки, включая вершины $B$ и $C$, принадлежат этой плоскости. То есть, $B \in \alpha$ и $C \in \alpha$.

Мы пришли к противоречию: ранее мы сделали вывод, что $B \notin \alpha$ и $C \notin \alpha$, а теперь получили, что $B \in \alpha$ и $C \in \alpha$. Данное противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что вершина $A$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, это предположение неверно.

Таким образом, вершина $A$ должна принадлежать плоскости $\alpha$. Так как выбор вершины был произвольным, аналогичные рассуждения можно провести для вершин $B$ и $C$, что доказывает, что все три вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$.

Ответ: Утверждение доказано. Вершины данного треугольника принадлежат плоскости $\alpha$.