Номер 5, страница 3 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Вершина $A$ треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$, а вершины $B$ и $C$ ей не принадлежат. Продолжения биссектрис $BM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что точки $A$, $M$ и $K$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки A, M и K лежат на одной прямой, покажем, что все они принадлежат линии пересечения двух плоскостей.

1. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A, B и E. Обозначим эту плоскость как (ABE).

2. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A, C и F. Обозначим эту плоскость как (ACF).

Поскольку точка A является общей для обеих плоскостей, они пересекаются по прямой, проходящей через точку A. Назовем эту прямую d. Таким образом, d = (ABE) ∩ (ACF).

Теперь докажем, что точки M и K также принадлежат этой прямой d.

Для точки M:

• По условию, точка M лежит на отрезке AC. Так как точки A и C принадлежат плоскости (ACF), вся прямая AC, а значит и точка M, лежит в плоскости (ACF). Итак, M ∈ (ACF).
• Также по условию, продолжение биссектрисы BM пересекает плоскость α в точке E. Это означает, что точки B, M и E лежат на одной прямой. Так как точки A, B и E определяют плоскость (ABE), а точки B, M, E лежат на одной прямой, то точка M принадлежит плоскости (ABE). Итак, M ∈ (ABE).

Поскольку точка M принадлежит обеим плоскостям (ABE) и (ACF), она должна лежать на их линии пересечения, то есть на прямой d.

Для точки K:

• По условию, точка K лежит на отрезке AB. Так как точки A и B принадлежат плоскости (ABE), вся прямая AB, а значит и точка K, лежит в плоскости (ABE). Итак, K ∈ (ABE).
• Также по условию, продолжение биссектрисы CK пересекает плоскость α в точке F. Это означает, что точки C, K и F лежат на одной прямой. Так как точки A, C и F определяют плоскость (ACF), а точки C, K, F лежат на одной прямой, то точка K принадлежит плоскости (ACF). Итак, K ∈ (ACF).

Поскольку точка K принадлежит обеим плоскостям (ABE) и (ACF), она также должна лежать на их линии пересечения, то есть на прямой d.

Таким образом, мы доказали, что все три точки — A, M и K — лежат на одной и той же прямой d, которая является линией пересечения плоскостей (ABE) и (ACF). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки A, M и K лежат на одной прямой.